Eine kompakte Einführung für Wirtschaftswissenschaftler
E-Book, Deutsch, 262 Seiten, E-Book
ISBN: 978-3-7910-5305-9
Verlag: Schäffer-Poeschel Verlag
Format: EPUB
Kopierschutz: Wasserzeichen (»Systemvoraussetzungen)
Die Neuauflage wurde aktualisiert und um ein Kapitel zur Preiselastizität ergänzt.
Autoren/Hrsg.
Weitere Infos & Material
1. Grundlagen in Kürze
2. Reelle Funktionen einer Variablen
3. Differentiation von Funktionen einer Variablen
4. Integration von Funktionen einer Variablen
5. Vektoren und Matrizen
6. Funktionen mehrerer Variablen
7. Lösungen zu den Aufgaben
Sachregister
2 Reelle Funktionen einer Variablen
Lernziele Sie lernen, Funktionen einer reellen Veränderlichen präzise zu verstehen, und wissen, wie solche Funktionen mathematisch beschrieben werden können. Sie kennen die wichtigsten Eigenschaften, die solche Funktionen aufweisen können. Sie erfahren die Besonderheiten von Folgen und Reihen und warum Funktionen dieser Art für die Analysis besonders wichtig sind. Sie wissen, wie Funktionen hilfreich in der Modellierung und Analyse ökonomischer Sachverhalte eingesetzt werden können. Sie können wichtige elementare Funktionstypen unterscheiden und deren charakteristische Eigenschaften zur Beschreibung passender ökonomischer Probleme einsetzen. Die Funktion ist der zentrale Begriff in der Analysis. Sie ist das mathematische Konstrukt, mit dessen Hilfe viele ökonomische Sachverhalte in ihren funktionalen Abhängigkeiten abgebildet werden können, wie zum Beispiel Kosten-, Umsatz- oder Gewinnfunktionen. Die Analysis gibt uns diejenigen Methoden an die Hand, mit denen solche funktionalen Zusammenhänge untersucht werden können. Wir beschränken uns darauf, die wichtigsten Aussagen der Analysis darzustellen, die zur adäquaten Lösung von ökonomischen Fragestellungen Verwendung finden können. Nach den grundlegenden Definitionen wenden wir uns in Kapitel 2.2 den Folgen und Reihen zu, mit deren Hilfe wir im darauf folgenden Kapitel die für die Analysis fundamentalen Begriffe Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion einführen. Im abschließenden Kapitel 2.4 wenden wir uns den für die ökonomischen Anwendungen wichtigsten elementaren Funktionstypen zu. 2.1 Grundlagen
Wir erfahren hier, wie ökonomische Sachverhalte mithilfe von Funktionen beschrieben werden können. Dazu lernen wir zunächst die Funktion und ihre Darstellungsmöglichkeiten kennen. Im Anschluss daran diskutieren wir die wichtigsten Eigenschaften von Funktionen, sofern sie in der ökonomischen Anwendung von Interesse sind. 2.1.1 Begriff und Darstellung reeller Funktionen
Viele ökonomische Größen stehen in einer festen Beziehung zueinander. Die Werte einer ökonomischen Größe hängen in eindeutiger Weise von den Werten anderer ökonomischer Größen ab. Ist für ein Produkt im Markt ein Preis p je Mengeneinheit gegeben, so wird der Umsatz U in Abhängigkeit von einer beliebigen Absatzmenge x durch die Zuordnungsvorschrift „Preis mal Menge (p mal x)“ in eindeutiger Weise bestimmt. Abb. 2-1 Der Umsatz als funktionaler Zusammenhang Der Umsatz U ist bei gegebenem Preis p eine Funktion der Menge x: U = U(x) = p · x . Die Umsatzfunktion U ordnet jedem Wert der vorzugebenden sogenannten unabhängigen Variablen x durch die Zuordnungsvorschrift (Funktionsformel) 3x den Wert der abhängigen Variablen y = U(x) in eindeutiger Weise zu. Zu jedem x gibt es ein und nur ein y. Es ist in der Mathematik üblich, die unabhängige Variable x und die abhängige Variable y zu nennen. Die Schreibweise U (x) für (oder anstelle von) y deutet dabei lediglich an, dass der Umsatz in Abhängigkeit von x bestimmt wird. In der Ökonomie weicht man von dieser Namenskonvention oftmals ab. Die Zahlen, aus denen die x-Werte stammen dürfen, bilden die Definitionsmenge der Funktion. Definition (reelle Funktion): Eine reelle Funktion f : D(f) ? R ist eine Vorschrift, die jedem Wert der unabhängigen Variablen x ? D(f) ? R ein eindeutig bestimmtes y ? R zuordnet. y heißt abhängige Variable. Um zu verdeutlichen, dass y durch die Funktionsvorschrift bestimmt wird, schreibt man auch y = f (x) . D(f) ist der Definitionsbereich von f und gibt an, welche Werte für x eingesetzt werden dürfen. Die Menge aller so zustande kommenden y -Werte nennt man den Wertebereich W (f) von f . Es ist zu beachten, dass die Angabe des Definitionsbereiches zur vollständigen Festlegung der Funktion notwendig ist. Die Vorschrift, mit der man eine Funktion beschreibt, ist in aller Regel ein mathematischer Formelausdruck. Es herrscht die mathematische Konvention, dass man als Definitionsbereich der Funktion alle Werte für x ? R zulässt, für die der mathematische Formelausdruck sinnvoll erklärt ist. Mathematischer Definitionsbereich Ökonomischer Definitionsbereich Jedoch kann es sein, dass man lediglich einen kleineren Definitionsbereich zulassen will. So ist es aus ökonomischen Gründen oftmals nicht sinnvoll, der mathematischen Konvention zu folgen. Die Umsatzfunktion U (x) = 3x hat nach mathematischer Konvention den Definitionsbereich D (f) = R ; es können mathematisch alle reellen Werte für x eingesetzt werden. Jedoch sind negative Absatzmengen ökonomisch nicht sinnvoll zu interpretieren und man schränkt den Definitionsbereich der Umsatzfunktion auf den ökonomisch relevanten Bereich R+ ein. Grafische Darstellung von Funktionen Ist eine Funktion f (x) = 3 x gegeben, so kann man eine Wertetabelle anlegen, um sich einen Überblick zu verschaffen, oder die gefundenen Werte in ein Koordinatenkreuz einzeichnen. Abb. 2-2 Wertetabelle und Eintrag ins Koordinatensystem Abb. 2-3 Graph von f(x) = 3x Von Punkten zur Linie Auf diese Weise erhält man eine noch lückenhafte Information über einzelne Werte. Verfeinert man die Wertetabelle und berechnet immer mehr Zwischenwerte, so gelangt man schließlich zu einer Linie, dem Bild der Funktion. Der Graph einer Funktion ist also eine Teilmenge des R2 . Genauer gilt: Definition (Graph einer Funktion): Der Graph einer reellen Funktion f : ?D(f) ? R ist die Veranschaulichung der Menge G(f) : = { (x , f(x))|x ? D(f)} in der x-y-Ebene. Mithilfe des Graphen können wir uns also im Sinne des Wortes ein Bild von einer Funktion machen. Insbesondere bekommen wir einen Eindruck davon, wie der Wert der abhängigen Variablen y sich ändert, wenn der Wert der unabhängigen Variablen x variiert. Dies ist auch für ökonomische Sachverhalte äußerst hilfreich. So ist es zum Beispiel für den Ökonomen wichtig zu wissen, wie sich die Gesamtkosten der Produktion im Verlauf einer ansteigenden Produktionsmenge entwickeln. Wir machen uns ein Bild. Es sei darauf hingewiesen, dass die grafischen Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen teilweise begrenzt sind. So gibt es Funktionen, deren Graph definiert ist so wie oben beschrieben, die aber grundsätzlich nicht zeichnerisch darstellbar sind. Die harmlos zu definierende Funktion ist nicht zeichnerisch darstellbar. Zwischen je zwei Brüchen liegen unendlich viele reelle Zahlen, die irrational sind, und zwischen je zwei irrationalen Zahlen liegen wiederum beliebig viele Brüche. Grafisch nicht darstellbare Funktionen trifft man in der ökonomischen Anwendung jedoch äußerst selten an. Im Folgenden machen wir von der weit verbreiteten Üblichkeit Gebrauch, nicht exakt zwischen Funktion und Graph der Funktion zu unterscheiden. Ebenso verzichten wir darauf, stets die genaue Definition der Funktion anzugeben, und sprechen anstelle dessen einfach von der Funktion y = f (x) . Dabei unterstellen wir, sofern nicht ausdrücklich anders gewünscht, stets den mathematisch größtmöglichen Definitionsbereich. Abb. 2-4 Kein Graph einer Funktion Das Wesentliche an einer Funktion ist die Eindeutigkeit der Zuordnung. Daher stellt die Linie in Abb. 2-4 keine Funktion dar. Dort...
