Buch, Deutsch, 410 Seiten, Paperback, Format (B × H): 155 mm x 235 mm, Gewicht: 645 g
Erster Band: Funktionen Einer Veränderlichen
Buch, Deutsch, 410 Seiten, Paperback, Format (B × H): 155 mm x 235 mm, Gewicht: 645 g
ISBN: 978-3-642-98739-7
Verlag: Springer
Zielgruppe
Research
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Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel. Vorbereitungen.- § 1. Der Zahlbegriff.- Das System der reellen Zahlen. S.- Die Zahlensysteme. S.- § 2. Der Funktionsbegriff.- Beispiele. S.- Begriffliche Formulierung. S.- Graphische Darstellung. Eindeutigkeit und Mehrdeutigkeit. Stetigkeit. S.- Umkehrfunktionen. S.- § 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen.- Die rationalen Funktionen. S.- Algebraische Funktionen. S.- Die trigonometrischen Funktionen. S.- Exponentialfunktion und Logarithmus. S.- § 4. Funktionen einer ganzzahligen Veränderlichen.- § 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele.- $$ {a_n}=\frac{1}{n}\bullet $$ S.- $$ {a_{{2m}}}=\frac{1}{m};\,{a_{{2m-1}}}=\frac{1}{{2m}}\bullet $$ S.- $$ {a_n}=\frac{n}{{n+1}}\bullet $$ S.- $$ {a_n}=\sqrt[n]{p}\bullet $$ S.- $$ {a_n}={\alpha^n}\bullet $$ S.- Zur geometrischen Veranschaulichung der Grenzwerte von ?n und $$ {\alpha^n}\,und\,\sqrt[n]{p}\bullet $$ S.- Die geometrische Reihe.S.- $$ {a_n}=\sqrt[n]{n}\bullet $$S.- $$ {a_n}=\sqrt {{n+1}}-\sqrt {n} \bullet $$ S.- $$ {a_n}=\frac{n}{{2n}}\bullet $$ S.- Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes.- Allgemeines. S.- Rechnen mit Grenzwerten. S.- Die Zahl e. S.- Die Zahl n als Grenzwert. S.- Das arithmetisch-geometrische Mittel. S.- § 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen.- § 8. Der Begriff der Stetigkeit.- Definitionen. S.- Unstetigkeitspunkte. S.- Sätze über stetige Funktionen. S.- Anhang zum ersten Kapitel.- Vorbemerkungen.- § 1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen.- Das Häufungsstellen-Prinzip. S.- Grenzwerte von Zahlenfolgen. Beweis des Cauchyschen Konvergenzkriteriums. S.- Oberer und unterer Häufungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge. S.- § 2. Sätze über stetige Funktionen.- Größter und kleinster Wert stetiger Funktionen. S.- Die Gleichmäßigkeit der Stetigkeit. S.- Der Zwischenwertsatz. S.- Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion. S.- Weitere Sätze über stetige Funktionen. S.- § 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen.- § 4. Polarkoordinaten.- § 5. Bemerkungen über komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel. Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.- § 1. Das bestimmte Integral.- Das Integral als Flächeninhalt. S.- Die analytische Definition des Integrales. S.- Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral. S.- § 2. Beispiele.- Erstes Beispiel. S.- Zweites Beispiel. S.- Integration von x? bei beliebigem positiven ganzzahligen a. S.- Integration von x? für beliebiges rationales ? ?-1. S.- Integration von sin x und cos x. S.- § 3. Die Ableitung oder der Differentialquotient.- Differentialquotient und Kurventangente. S.- Der Differentialquotient als Geschwindigkeit. S.- Beispiele. S.- Einige Grundregeln für die Differentiation. S.- Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen. S.- Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung. S.- Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von Leibniz. S.- Der Mittelwertsatz. S.- Angenäherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare. — Differentiale. S.- Bemerkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissenschaft. S.- § 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsätze der Differential- und Integralrechnung.- Das Integral als Funktion der oberen Grenze. S.- Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales. S.- Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales. S.- Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung bestimmter Integrale. S.- Einige Beispiele. S.- § 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- § 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten.- Die Massenverteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität. S.- Gesichtspunkte der Anwendungen. S.- § 7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. S.- Anwendungen. Die Integration von x? für beliebiges irrationales a. S.- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- § 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem.- Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel. Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen.- § 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen 109 Differentiationsregeln. S.- Differentiation der rationalen Funktionen. S.- Differentiation der trigonometrischen Funktionen. S.- § 2. Die entsprechenden Integralformeln.- Allgemeine Integrationsregeln. S.- Integration der einfachsten Funktionen. S.- § 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient.- Die allgemeine Differentiationsformel. S.- Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen. S.- Die zugehörigen Integralformeln. S.- § 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen.- Die Kettenregel. S.- Beispiele. S.- Nochmals Integration und Differentiation von x? für irrationales ?. S.- § 5. Maxima und Minima.- Allgemeine Vorbemerkungen über die geometrische Bedeutung der Differentialquotienten. S.- Maxima und Minima. S.- Beispiele für Maxima und Minima. S. 131.- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion.- Definition des Logarithmus. Differentiationsformel. S.- Das Additionstheorem. S.- Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus. S.- Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion). S.- Die allgemeine Exponentialfunktion ?x und die allgemeine Potenz x?. S.- Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte. S.- Schlußbemerkungen. S.- § 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion.- Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung. S.- Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall. S.- Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium. S.- Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden. S.- Verlauf chemischer Reaktionen. S.- Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes. S.- § 8. Die Hyperbelfunktionen.- Analytische Definition. S.- Additionstheoreme und Differentiationsformeln. S.- Die Umkehrfunktionen. S.- Weitere Analogien. S.- § 9. Die Größenordnung von Funktionen.- Begriff der Größenordnung. Einfachste Fälle. S.- Die Größenordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus. S.- Allgemeine Bemerkungen. S.- Die Größenordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes. S.- Größenordnung des Verschwindens einer Funktion. S.- Anhang zum dritten Kapitel.- §1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen.- Die Funktion $$ y={e^{{-\frac{1}{{{x^2}}}}}}\bullet $$ S.- Die Funktion $$ y={e^{{-\frac{1}{x}}}}\bullet $$ S.- Die Funktion $$y = \mathfrak{T}\mathfrak{g}\frac{1}{x}.$$ S.- Die Funktion $$y = x \mathfrak{T}\mathfrak{g}\frac{1}{x}.$$ S.- Die Funktion $$ y=x\,\sin \,\frac{1}{x},\,y(0)=0\bullet $$ S.- § 2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen.- § 3. Verschiedene Einzelheiten.- Beweis des binomischen Satzes. S.- Fortgesetzte Differentiation. S.- Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz. S.- Viertes Kapitel. Weiterer Ausbau der Integralrechnung.- § 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- § 2. Die Substitutionsregel.- Die Substitutionsformel. S.- Neuer Beweis der Substitutionsformel. S.- Beispiele. Integrationsformeln. S.- § 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode.- § 4. Die Produktintegration.- Allgemeines. S.- Beispiele. S.- Rekursionsformeln. S.- Die Wallissche Produktzerlegung von ?. S.- § 5. Integration der rationalen Funktionen.- Aufstellung der Grundtypen. S.- Integration der Grundtypen. S.- Die Partialbruchzerlegung. S.- Beispiel. Chemische Reaktionen. S.- Weitere Beispiele für Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten.) S.- § 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen.- Vorbemerkungen über die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen. S.- Integration von R (cos x, sin x). S.- Integration von R (Cof x, Sin x). S.- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{1-{x^2}}}} \right)\bullet $$ S.- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{{x^2}+1}}} \right)\bullet $$ S.- — Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{{x^2}+1}}} \right)\bullet $$ S.- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{a{x^2}+2bx+c}}} \right)\bullet $$ S.- Weitere Beispiele für Zurückführung auf Integrale rationaler Funktionen. S.- Bemerkungen zu den Beispielen. S.- § 7. Bemerkungen über Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren.- Funktionen integrieren lassen.- Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale. S.- Grundsätzliches über Differentiation und Integration. S.- § 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale.- Funktionen mit Sprungstellen. S.- Funktionen mit Unendlichkeitsstellen. S.- Unendliches Integrationsintervall. S.- Fünftes Kapitel. Anwendungen.- § 1. Darstellung von Kurven.- Die Parameterdarstellung. S.- Die zu einer Kurve gehörigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung. S.- Übergang zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung. S.- Allgemeine Bemerkungen. S.- § 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven.- Der Flächeninhalt in rechtwinkligen Koordinaten. S.- Flächeninhalt in Polakroordinaten. S.- Länge einer Kurve. S.- Die Krümmung einer Kurve. S.- Schwerpunkt und statisches Moment einer Kurve. S.- Flächeninhalt und Volumen einer Rotationsfläche. S.- Trägheitsmoment. S.- § 3. Beispiele.- Die gemeine Zykloide. S.- Kettenlinie. S.- Ellipse und Lemniskate. S.- § 4. Die einfachsten Probleme der Mechanik.- Grundvoraussetzungen aus der Mechanik. S.- Freier Fall. Reibung. S.- Die einfachste elastische Schwingung. S.- Die allgemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve. S.- § 5. Weitere Anwendungen: Fall eines Massenpunktes auf einer Kurve.- Allgemeines. S.- Diskussion der Bewegung. S.- Das gewöhnliche Pendel. S.- Das Zykloidenpendel. S.- § 6. Arbeit.- Allgemeines. S.- Erstes Beispiel. Massenanziehung. S.- — Zweites Beispiel. Spannen einer Feder. S.- Drittes Beispiel. Aufladen eines Kondensators. S.- Anhang zum fünften Kapitel.- Eigenschaften der Evolute.- Sechstes Kapitel. Die Taylorsche Formel und die Annäherung von Funktionen durch ganze rationale.- § 1. Der Logarithmus und der Arcustangens.- Der Logarithmus. S.- Der Arcustangens. S.- § 2. Die allgemeine Taylorsche Formel.- Die Taylorsche Formel für ganze rationale Funktionen. S.- Die Taylorsche Formel für eine beliebige Funktion. S.- Abschätzung des Restgliedes. S.- § 3. Anwendungen. Entwicklung der elementaren Funktionen.- Die Exponentialfunktion. S.- sin x, cos x, Sin x, (Cof x. S.- — Die binomische Reihe. S.- § 4. Geometrische Anwendungen.- Berührung von Kurven. S.- Der Krümmungskreis als Oskulationskreis. S.- Zur Theorie der Maxima und Minima. S.- Anhang zum sechsten Kapitel.- § 1. Beispiel einer Funktion, die sich nicht in eine Taylorsche Reihe.- entwickeln läßt.- § 2. Beweis der Irrationalität von e.- § 3. Nullstellen, Unendlichkeitsstellen von Funktionen und sogenannte unbestimmte Ausdrücke.- § 4. Das Problem der Interpolation und sein Zusammenhang mit der Taylorschen Formel.- Problemstellung und Vorbemerkungen. S.- Konstruktion der Lösung. Die Steigungen einer Funktion. Die Newtonsche Interpolationsformel. S.- Zusammenhang zwischen Steigungen und Ableitungen. Restabschätzungen. S.- Die Interpolationsformel von Lagrange. S.- Siebentes Kapitel. Exkurs über numerische Methoden.- Vorbemerkungen.- § I. Numerische Integration.- Rechtecksregel. S.- Trapezformel und Tangentenformel. S.- — Die Simpsonsche Regel. S.- Beispiele. S.- Fehlerabschätzung. S.- § 2. Anwendungen des Mittelwertsatzes und des Taylorschen Satzes281 Die,Fehlerrechnung“. S.- Berechnung von n. S.- Berechnung der Logarithmen. S.- § 3. Numerische Auflösung von Gleichungen.- Das Verfahren von Newton. S.- Regula falsi. S.- Beispiel. S.- Anhang zum siebenten Kapitel.- Die Stirlingsche Formel.- Achtes Kapitel. Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse.- Vorbemerkungen.- § 1. Die Begriffe Konvergenz und Divergenz.- Grundbegriffe. S. 293.- Absolute und bedingte Konvergenz. S.- Umordnung der Reihenglieder. S.- Das Rechnen mit unendlichen Reihen. S.- § 2. Untersuchung der Konvergenz und Divergenz.- Das Prinzip der Reihenvergleichung. S.- Vergleichung mit der geometrischen Reihe. S.- Vergleichung mit einem Integral. S.- § 3. Grenzübergänge und Reihen von Funktionen einer Veränderlichen. 307 Allgemeines. S.- Grenzübergänge mit Funktionen und Kurven. S.- § 4. Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz.- Allgemeines und Beispiele. S.- Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz. S.- Stetigkeit gleichmäßig konvergenter Reihen stetiger Funktionen. S.- Die Integration gleichmäßig konvergenter Reihen. S.- Differentiation unendlicher Reihen. S.- § 5. Potenzreihen.- Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe. S.- Die Integration und Differentiation von Potenzreihen. S.- Das Rechnen mit Potenzreihen. S.- Eindeutigkeitssatz für die Potenzreihen. S.- §6. Entwickelung gegebener Funktionen in Potenzreihen. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Beispiele.- Die Exponentialfunktion. S.- Die binomische Reihe. S.- Die Reihe für arc sin x. S.- Die Potenzreihenentwicklung von Ax Sin $$\mathfrak{A}\mathfrak{r} \mathfrak{S}\mathfrak{i}\mathfrak{n} x = \log (x + \sqrt 1 + \sqrt {{x^2}} ).$$ S.- Beispiel für Reihenmultiplikation. S.- Beispiel für gliedweises Integrieren. Elliptisches Integral. S.- § 7. Potenzreihen mit komplexen Gliedern.- Einführung komplexer Glieder in Potenzreihen. S.- Ausblick auf die allgemeine Funktionentheorie. S.- Anhang zum achten Kapitel.- § 1. Multiplikation und Division von Reihen.- Multiplikation absolut konvergenter Reihen. S.- Multiplikation und Division von Potenzreihen. S.- § 2. Grenzübergänge, die mit der Exponentialfunktion zusammenhängen.- Die Gleichmäßigkeit des Grenzüberganges $$ {\left({1+\frac{x}{n}} \right)^n} \to {e^x}\bullet $$ S.- Bemerkung über Integration und Differentiation der Exponentialfunktion. S.- Beweis der Formel $$ \int\limits_0^{\infty} {{e^{{-{x^2}}}}} \,dx=\frac{1}{2}\sqrt {\pi} \bullet $$ S.- § 3. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- § 4. Unendliche Produkte.- § 5. Weitere Beispiele für unendliche Reihen.- Verschiedene Entwicklungen. S.- Reihen, in denen die Bernoullischen Zahlen auftreten. S.- Neuntes Kapitel. Fouriersche Reihen.- § 1. Die periodischen Funktionen.- Allgemeines. S.- Zusammensetzung von reinen Schwingungen. Obertöne. Schwebungen. S.- § 2. Die Verwendung der komplexen Schreibweise.- Allgemeine Bemerkungen. S.- Anwendung in der Lehre vom Wechselstrom. S.- Komplexe Darstellung der Superposition von reinen Schwingungen. S.- Ableitung einer trigonometrischen Formel. S.- §3. Trigonometrische Interpolation.- Lösung des Interpolationsproblems. S.- Grenzübergang zur Fourierschen Reihe. S.- § 4. Beispiele für die Fouriersche Reihe.- Vorbemerkungen. S.- Entwicklung der Funktionen ? (x)=x und ? (x)=x2. S.- Entwicklung der Funktion x cos x. S.- f (x)= x. S.- Beispiel. S.- f (x)= sin x. S.- Entwicklung der Funktion cos ? x. Partialbruchzerlegung des Kotangens. Produktzerlegung des Sinus. S.- Weitere Beispiele. S.- § 5. Strenge Begründung der Fourierschen Reihenentwicklung.- Die Konvergenz der Fourierschen Reihe einer stückweise glatten Funktion. S.- Genauere Untersuchung der Konvergenz. S.- § 6. Die mittlere Approximation durch trigonometrische Polynome.- Anhang zum neunten Kapitel.- Beispiele zur trigonometrischen Interpolation.- Vorbemerkungen. S.- Einzelne Beispiele. S.- Zehntes Kapitel. Die Differentialgleichungen der einfachsten Schwingungsvorgänge.- § 1. Schwingungsprobleme der Mechanik und Physik.- Einfachste mechanische Schwingungen. S.- Elektrische Schwingungen. S.- § 2. Lösung der homogenen Gleichung. Freie Bewegungen.- Formale Auflösung. S.- Physikalische Deutung der Lösung. S.- Anpassung an gegebene Anfangsbedingungen. Eindeutigkeit der Lösung. S.- § 3. Unhomogene Gleichung. Erzwungene Bewegungen.- Allgemeine Bemerkungen. S.- Lösung der unhomogenen Gleichung. S.- Die Resonanzkurve. S.- Nähere Diskussion des Schwingungsablaufes. S.- Bemerkungen über den Bau von Registrierinstrumenten. S.- Schlußbemerkung.