Abbes Éléments de Géométrie Rigide

Volume I. Construction et Étude Géométrique des Espaces Rigides
2011
ISBN: 978-3-0348-0012-9
Verlag: Birkhäuser Basel
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Französisch, Band 286, 496 Seiten

Reihe: Progress in Mathematics

La géométrie rigide est devenue, au fil des ans, un outil indispensable dans un grand nombre de questions en géométrie arithmétique. Depuis ses premières fondations, posées par J. Tate en 1961, la théorie s'est développée dans des directions variées. Ce livre est le premier volume d'un traité qui expose un développement systématique de la géométrie rigide suivant l'approche de M. Raynaud, basée sur les schémas formels à éclatements admissibles près. Ce volume est consacré à la construction des espaces rigides dans une situation relative et à l'étude de leurs propriétés géométriques. L'accent est particulièrement mis sur l'étude de la topologie admissible d'un espace rigide cohérent, analogue de la topologie de Zariski d'un schéma. Parmi les sujets traités figurent l'étude des faisceaux cohérents et de leur cohomologie, le théorème de platification par éclatements admissibles qui généralise au cadre formel-rigide un théorème de Raynaud-Gruson dans le cadre algébrique, et le théorème de comparaison du type GAGA pour les faisceaux cohérents. Ce volume contient aussi de larges rappels et compléments de la théorie des schémas formels de Grothendieck. Ce traité est destiné tout autant aux étudiants ayant une bonne connaissance de la géométrie algébrique et souhaitant apprendre la géométrie rigide qu'aux experts en géométrie algébrique et en théorie des nombres comme source de références.

Ahmed Abbes is director of research at the CNRS, Rennes University.

Autoren/Hrsg.

Abbes, Ahmed

Inhaltsverzeichnis

1;Table des matières;7
2;Préface par Michel Raynaud;10
3;Avant-propos;13
4;Introduction;14
5;Chapitre 1 Préliminaires;22
5.1;1.1 Des catégories et des topos;22
5.2;1.2 Scholie sur le morphisme de changement de base;27
5.3;1.3 Rappels sur les modules cohérents;33
5.4;1.4 Modules cohérents sur un schéma;37
5.5;1.5 Rappels sur l’assassin et la pureté;39
5.6;1.6 Rappels sur les idéaux de coefficients;43
5.7;1.7 Rappels sur les idéaux de Fitting;44
5.8;1.8 Rappels d’algèbre topologique;46
5.9;1.9 Anneaux valuatifs;57
5.10;1.10 Anneaux idylliques;62
5.11;1.11 Ordres 1-valuatifs;66
5.12;1.12 Compléments sur la platitude;69
5.13;1.13 Rappels et compléments sur la platification par éclatements;78
5.14;1.14 Propriétés différentielles des anneaux idylliques;84
5.15;1.15 Couples henséliens idylliques;90
5.16;1.16 Approximation algébrique;95
5.17;1.17 Compléments d’algèbre homologique;122
6;Chapitre 2 Géométrie formelle;127
6.1;2.1 Rappels et compléments sur les schémas formels;127
6.2;2.2 Morphismes déployés et morphismes adiques;136
6.3;2.3 Conditions de finitude relatives;141
6.4;2.4 Morphismes lisses, morphismes non ramifiés, morphismes étales;149
6.5;2.5 Complété formel d’un schéma le long d’un sous-schéma;154
6.6;2.6 Schémas formels idylliques;159
6.7;2.7 Modules cohérents sur les schémas formels affines globalement idylliques;165
6.8;2.8 Modules cohérents sur les schémas formels idylliques;168
6.9;2.9 Sous-schémas des schémas formels idylliques;173
6.10;2.10 Clôture rigide d’un module;177
6.11;2.11 Étude cohomologique des faisceaux cohérents;192
6.12;2.12 Théorème de comparaison de la théorie “algébrique” à la théorie “formelle”;198
6.13;2.13 Un théorème d’existence de faisceaux algébriques cohérents;201
6.14;2.14 Invariants normaux d’une immersion;203
6.15;2.15 Invariants différentiels fondamentaux d’un morphisme;208
6.16;2.16 Dérivations et déformations infinitésimales;213
7;Chapitre 3 Éclatements admissibles;222
7.1;3.1 Éclatements admissibles;222
7.2;3.2 Dilatations;231
7.3;3.3 Points rigides d’un schéma formel idyllique;235
7.4;3.4 Disques et couronnes formels;241
7.5;3.5 Le théorème d’acyclicité de Tate;243
8;Chapitre 4 Géométrie rigide;252
8.1;4.1 Espaces rigides cohérents ; la catégorie de Raynaud;253
8.2;4.2 Morphismes d’espaces rigides cohérents;260
8.3;4.3 La topologie admissible;265
8.4;4.4 Site et topos admissibles d’un espace rigide cohérent;270
8.5;4.5 Le topos admissible comme limite projective d’un topos fibré;273
8.6;4.6 Applications : I. Fonctorialité des topos admissibles;284
8.7;4.7 Applications : II. Fibre rigide d’un module;294
8.8;4.8 Modules cohérents sur les espaces rigides cohérents;308
8.9;4.9 Dimension d’un espace rigide cohérent;325
9;Chapitre 5 Platitude;331
9.1;5.1 Modules cohérents plats sur les schémas formels idylliques;332
9.2;5.2 Dévissage relatif;337
9.3;5.3 Critère de platitude;344
9.4;5.4 Modules cohérents rig-plats sur les schémas formels idylliques;350
9.5;5.5 Rig-platitude et morphismes de topos annelés;356
9.6;5.6 Idéaux de coefficients;363
9.7;5.7 Platification par éclatements admissibles dans un cas particulier;369
9.8;5.8 Platification par éclatements admissibles;372
9.9;5.9 Dimension relative d’un module cohérent;378
9.10;5.10 Platitude en géométrie rigide;383
9.11;5.11 Descente fidèlement plate des modules cohérents;387
9.12;5.12 Descente fidèlement plate des morphismes;394
10;Chapitre 6 Invariants différentiels. Morphismes lisses;397
10.1;6.1 Invariants normaux d’une immersion;397
10.2;6.2 Invariants différentiels fondamentaux d’un morphisme;403
10.3;6.3 Dérivations et déformations infinitésimales;407
10.4;6.4 Morphismes lisses, morphismes non ramifiés, morphismes étales;411
11;Chapitre 7 Espaces rigides quasi-séparés;423
11.1;7.1 Espaces rigides quasi-séparés;424
11.2;7.2 Morphismes d’espaces rigides quasi-séparés;431
11.3;7.3 Site et topos admissibles d’un espace rigide quasi-séparé;437
11.4;7.4 Géométrie algébrique et géométrie rigide;447
11.5;7.5 Hensélisation et géométrie rigide;461
11.6;7.6 Topos de Zariski et topos admissible;467
12;Bibliographie;474
13;Index;477