E-Book, Deutsch, 428 Seiten
Amann / Escher Analysis II
2. Auflage 2006
ISBN: 978-3-7643-7402-0
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: Adobe DRM (»Systemvoraussetzungen)
E-Book, Deutsch, 428 Seiten
ISBN: 978-3-7643-7402-0
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Der zweite Band dieser Einführung in die Analysis behandelt die Integrationstheorie von Funktionen einer Variablen, die mehrdimensionale Differentialrechnung und die Theorie der Kurven und Kurvenintegrale. Der im ersten Band begonnene moderne und klare Aufbau wird konsequent fortgesetzt. Dadurch wird ein tragfähiges Fundament geschaffen, das es erlaubt, interessante Anwendungen zu behandeln, die zum Teil weit über den in der üblichen Lehrbuchliteratur behandelten Stoff hinausgehen. Zahlreiche Übungsaufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad und viele informative Abbildungen runden dieses Lehrbuch ab.
Geschrieben für:
Studenten und Dozenten der Analysis-Anfängervorlesungen naturwissenschaftlicher Studiengänge
Schlagworte: Analysis
Autoren/Hrsg.
Weitere Infos & Material
1;Vorwort;6
2;Inhaltsverzeichnis;8
3;Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen;14
3.1;1 Sprungstetige Funktionen;17
3.1.1;Treppen- und sprungstetige Funktionen;17
3.1.2;Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen;19
3.1.3;Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen;20
3.2;2 Stetige Erweiterungen;23
3.2.1;Der Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen;23
3.2.2;Beschränkte lineare Operatoren;25
3.2.3;Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren;28
3.3;3 Das Cauchy-Riemannsche Integral;30
3.3.1;Das Integral für Treppenfunktionen;30
3.3.2;Das Integral für sprungstetige Funktionen;32
3.3.3;Riemannsche Summen;33
3.4;4 Eigenschaften des Integrals;39
3.4.1;Integration von Funktionenfolgen;39
3.4.2;Das orientierte Integral;40
3.4.3;Positivität und Monotonie des Integrals;41
3.4.4;Komponentenweise Integration;44
3.4.5;Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung;45
3.4.6;Das unbestimmte Integral;46
3.4.7;Der Mittelwertsatz der Integralrechnung;48
3.5;5 Die Technik des Integrierens;52
3.5.1;Variablensubstitution;52
3.5.2;Partielle Integration;54
3.5.3;Die Integration rationaler Funktionen;57
3.6;6 Summen und Integrale;64
3.6.1;Die Bernoullischen Zahlen;64
3.6.2;Rekursionsformeln;66
3.6.3;Die Bernoullischen Polynome;67
3.6.4;Die Euler-Maclaurinsche Summenformel;68
3.6.5;Potenzsummen;70
3.6.6;Asymptotische Äquivalenz;71
3.6.7;Die Riemannsche .-Funktion;73
3.6.8;Die Sehnentrapezregel;78
3.7;7 Fourierreihen;82
3.7.1;Das L2-Skalarprodukt;82
3.7.2;Die Approximation im quadratischen Mittel;84
3.7.3;Orthonormalsysteme;86
3.7.4;Die Integration periodischer Funktionen;87
3.7.5;Fourierkoeffizienten;88
3.7.6;Klassische Fourierreihen;89
3.7.7;Die Besselsche Ungleichung;93
3.7.8;Vollständige Orthonormalsysteme;94
3.7.9;Stückweise stetig differenzierbare Funktionen;97
3.7.10;Gleichmäßige Konvergenz;98
3.8;8 Uneigentliche Integrale;105
3.8.1;Zulässige Funktionen;105
3.8.2;Uneigentliche Integrale;105
3.8.3;Der Integralvergleichssatz für Reihen;108
3.8.4;Absolut konvergente Integrale;109
3.8.5;Das Majorantenkriterium;110
3.9;9 Die Gammafunktion;114
3.9.1;Die Eulersche Integraldarstellung;114
3.9.2;Die Gammafunktion auf C\( N);115
3.9.3;Die Gaußsche Darstellung;116
3.9.4;Die Ergänzungsformel;120
3.9.5;Die logarithmische Konvexität der Gammafunktion;121
3.9.6;Die Stirlingsche Formel;124
3.9.7;Das Eulersche Betaintegral;127
4;Kapitel VII Differentialrechnung mehrerer Variabler;132
4.1;1 Stetige lineare Abbildungen;135
4.1.1;Die Vollständigkeit von L(E,F);135
4.1.2;Endlichdimensionale Banachräume;136
4.1.3;Matrixdarstellungen;140
4.1.4;Die Exponentialabbildung;142
4.1.5;Lineare Differentialgleichungen;145
4.1.6;Das Gronwallsche Lemma;147
4.1.7;Die Variation-der-Konstanten-Formel;149
4.1.8;Determinanten und Eigenwerte;151
4.1.9;Fundamentalmatrizen;154
4.1.10;Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung;158
4.2;2 Differenzierbarkeit;167
4.2.1;Die Definition;167
4.2.2;Die Ableitung;168
4.2.3;Richtungsableitungen;170
4.2.4;Partielle Ableitungen;172
4.2.5;Die Jacobimatrix;174
4.2.6;Ein Differenzierbarkeitskriterium;174
4.2.7;Der Rieszsche Darstellungssatz;176
4.2.8;Der Gradient;178
4.2.9;Komplexe Differenzierbarkeit;180
4.3;3 Rechenregeln;185
4.3.1;Linearität;185
4.3.2;Die Kettenregel;185
4.3.3;Die Produktregel;188
4.3.4;Mittelwertsätze;188
4.3.5;Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen;190
4.3.6;Notwendige Bedingungen für lokale Extrema;190
4.4;4 Multilineare Abbildungen;193
4.4.1;Stetige multilineare Abbildungen;193
4.4.2;Der kanonische Isomorphismus;195
4.4.3;Symmetrische multilineare Abbildungen;197
4.4.4;Die Ableitung multilinearer Abbildungen;197
4.5;5 Höhere Ableitungen;201
4.5.1;Definitionen;201
4.5.2;Partielle Ableitungen höherer Ordnung;204
4.5.3;Die Kettenregel;206
4.5.4;Taylorsche Formeln;206
4.5.5;Funktionen von m Variablen;208
4.5.6;Hinreichende Kriterien für lokale Extrema;209
4.6;6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung;217
4.6.1;Nemytskiioperatoren;217
4.6.2;Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren;218
4.6.3;Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren;219
4.6.4;Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen;222
4.6.5;Variationsprobleme;224
4.6.6;Die Euler-Lagrangesche Gleichung;226
4.6.7;Klassische Mechanik;230
4.7;7 Umkehrabbildungen;234
4.7.1;Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen;234
4.7.2;Der Satz über die Umkehrabbildung;236
4.7.3;Diffeomorphismen;239
4.7.4;Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme;240
4.8;8 Implizite Funktionen;243
4.8.1;Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen;243
4.8.2;Der Satz über implizite Funktionen;245
4.8.3;Reguläre Werte;248
4.8.4;Gewöhnliche Differentialgleichungen;249
4.8.5;Separation der Variablen;251
4.8.6;Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit;255
4.8.7;Der Satz von Picard-Lindelöf;257
4.9;9 Mannigfaltigkeiten;265
4.9.1;Untermannigfaltigkeiten des Rn;265
4.9.2;Graphen;266
4.9.3;Der Satz vom regulären Wert;266
4.9.4;Der Immersionssatz;268
4.9.5;Einbettungen;270
4.9.6;Lokale Karten und Parametrisierungen;275
4.9.7;Kartenwechsel;278
4.10;10 Tangenten und Normalen;283
4.10.1;Das Tangential in Rn;283
4.10.2;Der Tangentialraum;284
4.10.3;Charakterisierungen des Tangentialraumes;288
4.10.4;Differenzierbare Abbildungen;289
4.10.5;Das Differential und der Gradient;292
4.10.6;Normalen;294
4.10.7;Extrema mit Nebenbedingungen;295
4.10.8;Anwendungen der Lagrangeschen Multiplikatorenregel;296
5;Kapitel VIII Kurvenintegrale;302
5.1;1 Kurven und ihre Länge;304
5.1.1;Die totale Variation;304
5.1.2;Rektifizierbare Wege;304
5.1.3;Differenzierbare Kurven;307
5.1.4;Rektifizierbare Kurven;310
5.2;2 Kurven in Rn;315
5.2.1;Tangenteneinheitsvektoren;315
5.2.2;Parametrisierungen nach der Bogenlänge;316
5.2.3;Orientierte Basen;317
5.2.4;Das Frenetsche n-Bein;318
5.2.5;Die Krümmung ebener Kurven;321
5.2.6;Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen;323
5.2.7;Krümmungskreise und Evoluten;324
5.2.8;Das Vektorprodukt;325
5.2.9;Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven;327
5.3;3 PfaffscheFormen;331
5.3.1;Vektorfelder und Pfaffsche Formen;331
5.3.2;Die kanonischen Basen;333
5.3.3;Exakte Formen und Gradientenfelder;335
5.3.4;Das Poincarésche Lemma;338
5.3.5;Duale Operatoren;340
5.3.6;Transformationsregeln;341
5.3.7;Moduln;345
5.4;4 Kurvenintegrale;350
5.4.1;Die Definition;350
5.4.2;Elementare Eigenschaften;352
5.4.3;Der Hauptsatz über Kurvenintegrale;354
5.4.4;Einfach zusammenhängende Mengen;356
5.4.5;Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals;357
5.5;5 Holomorphe Funktionen;364
5.5.1;Komplexe Kurvenintegrale;364
5.5.2;Holomorphie;367
5.5.3;Der Cauchysche Integralsatz;368
5.5.4;Die Orientierung der Kreislinie;370
5.5.5;Die Cauchysche Integralformel;370
5.5.6;Analytische Funktionen;372
5.5.7;Der Satz von Liouville;374
5.5.8;Die Fresnelschen Integrale;374
5.5.9;Das Maximumprinzip;376
5.5.10;Harmonische Funktionen;377
5.5.11;Der Satz von Goursat;379
5.5.12;Der Weierstraßsche Konvergenzsatz;382
5.6;6 Meromorphe Funktionen;386
5.6.1;Die Laurentsche Entwicklung;386
5.6.2;Hebbare Singularitäten;390
5.6.3;Isolierte Singularitäten;390
5.6.4;Einfache Pole;394
5.6.5;Die Windungszahl;396
5.6.6;Die Stetigkeit der Umlaufzahl;400
5.6.7;Der allgemeine Cauchysche Integralsatz;402
5.6.8;Der Residuensatz;404
5.6.9;Fourierintegrale;405
6;Literaturverzeichnis;414
7;Index;416
Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen (S. 1-2)
Das Konzept des Integrals ist eng mit dem Problem der Bestimmung von Flächeninhalten ebener Figuren verknüpft. Hierbei ist es naheliegend, komplizierte geometrische Gebilde durch einfachere zu approximieren, deren Flächenbestimmung mittels unmittelbar einsichtiger Regeln leicht durchgef¨uhrt werden kann. In der Praxis bedeutet dies, daß krummlinige Bereiche durch Vereinigungen von Rechtecksachen angenähert werden. Der Inhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seitenlängen. Da es anschaulich evident ist, daß sich der Inhalt von Vereinigungen von disjunkten Rechtecksflächen additiv verhält, kann man leicht einen plausiblen Kalkül zur näherungsweisen Flächenberechnung ebener Figuren entwickeln. Eine mathematisch befriedigende Präzisierung dieser anschaulichen Betrachtungen ist erstaunlich subtil.
Dies rührt insbesondere daher, daß es eine Vielzahl von Möglichkeiten gibt, mittels derer eine krummlinige ebene Figur durch Vereinigungen von disjunkten Rechtecksflächen approximiert werden kann. Dabei ist es keinesfalls selbstverständlich, daß sie alle zum selben Resultat führen. Aus diesem Grunde werden wir die allgemeine Theorie des Messens von Flächen- und Rauminhalten, die "Maßtheorie", erst im dritten Band behandeln. In diesem Kapitel beschränken wir uns auf den einfacheren Fall der Bestimmung der Fläche zwischen dem Graphen einer genügend regulären Funktion einer Variablen und der entsprechenden Abszisse.
Wenn wir hier die Approximation durch achsenparallele Rechtecksflächen zugrunde legen, sehen wir, daß dies darauf hinausläuft, die betrachtete Funktion durch Treppenfunktionen, d.h. Abbildungen, die stückweise konstant sind, anzunähern. Es zeigt sich nun, daß diese Approximationsidee äußerst flexibel und von ihrer ursprünglichen geometrischen Motivation unabhängig ist. Auf diese Weise werden wir zu einem Integralbegriff geführt, der auf eine große Klasse vektorwertiger Funktionen einer reellen Variablen anwendbar ist. Zur genauen Bestimmung der Klasse der Funktionen, denen wir ein Integral zuordnen können, müssen wir untersuchen, welche Funktionen durch Treppenfunktionen approximiert werden können.
Wenn wir dabei die Supremumsnorm zugrunde legen, d.h. eine gegebene Funktion gleichm ßig auf dem gesamten Intervall durch Treppenfunktionen approximieren, werden wir zu den sprungstetigen Funktionen geführt. Dem Studium dieser Funktionenklasse ist der erste Paragraph gewidmet. Wir werden sehen, daß das Integral eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der Treppenfunktionen ist. Es stellt sich dann das Problem, diesen Integralbegriff so auf den Raum der sprungstetigen Funktionen zu erweitern, daß die elementaren Eigenschaften, insbesondere die Linearität, erhalten bleiben.
Diese Aufgabe erweist sich als ein Spezialfall der allgemeineren Fragestellung nach der eindeutigen Fortsetzbarkeit stetiger Abbildungen. Da das Fortsetzungsproblem von übergeordneter Bedeutung ist und überall in der Mathematik auftritt, diskutieren wir es eingehend in Paragraph 2. Aus dem fundamentalen Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Abbildungen leiten wir den Satz über die stetige Fortsetzung stetiger linearer Abbildungen ab. Dies gibt uns Gelegenheit, die wichtigen Begriffe des beschränkten linearen Operators und der Operatornorm einzuführen, welche in der modernen Analysis eine grundlegende Rolle spielen.
