Behrends Analysis

Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni
2., verbesserte Auflage 2004
ISBN: 978-3-322-96378-9
Verlag: Vieweg & Teubner
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 359 Seiten, Web PDF

Reihe: Life Science and Basic Disciplines (German Language)

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie möglich gemacht. An der Verständlichkeit hat eine Gruppe von Studierenden intensiv mitgearbeitet.
Das Buch enthält viele Übungsaufgaben, deren ausführliche Lösungen als Online-Service zum Buch auf der speziell dafür eingerichteten Internetseite zu finden sind.
Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im Text gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet man - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen
Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur Analysis gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw.

Online-Service: www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis

Zielgruppe

Upper undergraduate

Autoren/Hrsg.

Behrends, Ehrhard

Inhaltsverzeichnis

1 Die Menge ? der reellen Zahlen.- 1.1 Vorbemerkungen Die Strategie: Wie wird das Axiomensystem für ? hergeleitet?.- 1.2 Mengen Mengen, Mengenoperationen, Abbildungen.- 1.3 Algebraische Strukturen Innere Kompositionen und ihre Eigenschaften, Körper, logischer Exkurs, Körpereigenschaften.- 1.4 Angeordnete Körper Positivbereich, angeordnete Körper, Gegenbeispiele.- 1.5 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion Definition von ?, Induktion, Musterbeweise, Eigenschaften von ?.- 1.6 Die ganzen und die rationalen Zahlen ? und ?, Dichtheitssatz.- 1.7 Das Archimedesaxiom Archimedesaxiom und Folgerungen.- 1.8 Vollständigkeit Dedekindsche Schnitte, Schnittzahlen, Vollständigkeit, das Axiomensystem für ?.- 1.9 Von ? zu ? Der Körper ?, Eigenschaften.- 1.10 Wie groß ist ?? Ergänzungen zur Mengenlehre, Mengen mit gleicher Kardinalzahl, abzählbar und überabzählbar, die Cantorschen Diagonalverfahren.- 1.11 Ergänzungen Peano-Axiome, der „konstruktive“Aufbau der reellen Zahlen, Gleichheit in der Mathematik, Eindeutigkeit von ?, Sicherheit der Grundlagen.- 1.12 Verständnisfragen.- 1.13 Übungsaufgaben.- 2 Folgen und Reihen.- 2.1 Folgen Folgen, Teilfolgen, Umordnungen.- 2.2 Konvergenz Betrag in ?, Existenz der Wurzel, Betrag in ?, Nullfolge, Konvergenz, Konvergenzbeweise.- 2.3 Cauchy-Folgen und Vollständigkeit Cauchy-Folgen, Zusammenhang zur Konvergenz, Ordnungsrelationen, Supremum und Infimum, äquivalente Versionen der Vollständigkeit.- 2.4 Unendliche Reihen Reihen, Konvergenzkriterien, absolut konvergente Reihen.- 2.5 Ergänzungen Dezimalentwicklung, ungeordnete Summation, Folgenräume.- 2.6 Verständnisfragen.- 2.7 Übungsaufgaben.- 3 Metrische Räume und Stetigkeit.- 3.1 Metrische Räume Metriken und Normen, Konvergenz, Kugeln, offeneund abgeschlossene Teilmengen, Abschluss und Inneres, dichte Teilmengen.- 3.2 Kompaktheit Kompaktheit, Kompaktheitskriterien, Charakterisierung der kompakten Teilmengen endlich-dimensionaler Räume, Zweipunktkompaktifizierung von ?.- 3.3 Stetigkeit Stetige Funktionen, Lipschitzabbildungen, Permanenzeigenschaften, Charakterisierung, Zwischenwertsatz, Satz vom Maximum, gleichmäßige Stetigkeit.- 3.4 Verständnisfragen.- 3.5 Übungsaufgaben.- 4 Differentiation (eine Veränderliche).- 4.1 Differenzierbare Funktionen Stetige Ergänzung, differenzierbare Funktionen, Ableitungsregeln.- 4.2 Mittelwertsätze Satz von Rolle, Mittelwertsätze, Regeln von l’Hôpital.- 4.3 Taylorpolynome Taylor-Polynome, Restglied, Restgliedformel, Extremwert aufgab en.- 4.4 Potenzreihen Potenzreihen, Konvergenzradius, Limes superior und Limes inferior, Formel für den Konvergenzradius, Differenzierbarkeit von Potenzreihen, entwickelbare Funktionen, das Gegenbeispiel von Cauchy.- 4.5 Spezielle Funktionen Zwei Differentialgleichungen zur Motivation, Exponentialfunktion, Logarithmus, allgemeine Potenz, Sinus und Cosinus, spezielle Funktionen im Komplexen, Polardarstellung.- 4.6 Fundamentalsatz, Differentialgleichungen Fundamentalsatz, Lösung spezieller Typen von Differentialgleichungen.- 4.7 Verständnisfragen.- 4.8 Übungsaufgaben.- Anhänge.- Computeralgebra.- Mathematik und neue Medien.- Die Internetseite zum Buch.- Griechische Symbole.- Lösungen zu den „?“.- Register.

Über Autor(innen)

Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der FU Berlin. Er ist Autor von zahlreichen Fachbüchern, auch setzt er sich - u.a. als Betreuer der Internetseite www.mathematik.de - intensiv für die Popularisierung von Mathematik ein.
Ebenfalls bei Vieweg erschien das Buch "Alles Mathematik", das er zusammen mit Martin Aigner herausgegeben hat.