Courant / Robbins Was ist Mathematik?

5. Auflage 2001
ISBN: 978-3-642-13701-3
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 419 Seiten

'Was ist Mathematik?' lädt jeden ein, das Reich der Mathematik zu betreten, der neugierig genug ist, sich auf ein Abenteuer einzulassen. Das Buch richtet sich an Leser jeden Alters und jeder Vorbildung. Gymnasiallehrer erhalten eine Fülle von Beispielen, Studenten bietet es Orientierung, und Dozenten werden sich an den Feinheiten der Darstellung zweier Meister ihres Faches erfreuen.

Autoren/Hrsg.

Courant, Richard

Robbins, Herbert

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort zur vierten Ausgabe;6
2;Vorwort zur etsten deutschen Ausgabe;8
3;Vorwort zur zweiten deutschen Ausgabe;9
4;Ratschlage fur die Leser;10
5;Inhaltsverzeichnis;11
6;Was ist Mathematik?;17
7;Erstes Kapitel Die natiirlichen Zahlen Einleitung;21
7.1;§ 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen;21
7.1.1;1. Gesetze der Arithmetik;21
7.1.2;2. Die Darstellung der positiven ganzen Zahlen;24
7.1.3;3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen;26
7.2;* § 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems Mathematische Induktion;28
7.2.1;1. Das Prinzip der mathematischen Induktion;28
7.2.2;2. Die arithmetische Reihe;30
7.2.3;3. Die geometrische Reihe;31
7.2.4;4. Die Summe der ersten n Quadrate;32
7.2.5;*5. Eine wichtige Ungleichung1;33
7.2.6;*6. Der binomische Satz;33
7.2.7;*7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion;35
8;Erganzung zu Kapitel I Zahlentheorie Einleitung;37
8.1;§ 1. Die Primzahlen;37
8.1.1;1. Grundtatsachen;37
8.1.2;2. Die Verteilung der PrimzahIen;40
8.2;§ 2. Kongruenzen;46
8.2.1;1. Grundbegriffe;46
8.2.2;2. Der kleine Fermatsche Satz;50
8.2.3;3. Quadratische Reste;51
8.3;§ 3. Pythagoreische Zahlen und groBer Fermatscher Satz;52
8.4;§ 4. Det euklidische Algorithmus;54
8.4.1;1. Die allgemeine Theorie;54
8.4.2;2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der Arithmetik;58
8.4.3;3. EULERs 9l-FUnktion. NochmaIs kleiner Fermaischer Satz;59
8.4.4;4. Kettenbriiche. Diophantische Gleichungen;60
9;Zweites Kapitel Das Zahlensystem der Mathematik Einleitung;62
9.1;§ 1. Die rationalen Zahlen;62
9.1.1;1. Messen und Zihlen;62
9.1.2;2. Die innere Notwencligkeit der rationalen Zahlen Das Prinzip der Verallgemeinerung;64
9.1.3;3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen;66
9.2;§ 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff;67
9.2.1;1. Einleitung;67
9.2.2;2. UnendHche Dezimalbriiche;69
9.2.3;3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen;71
9.2.4;4. Rationale Zahlen und perioclische Dezimalbriiche;74
9.2.5;5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervallschacbtelungen;75
9.2.6;*6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte;77
9.3;§ 3. Bemerkungen liber analytische Geometrie*;78
9.3.1;1. Das Grundprinzip;78
9.3.2;*2. Gleichungen von Geraden und Kurven;79
9.4;§ 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen;82
9.4.1;1. Grundbegriffe;82
9.4.2;2. Die Abziihlbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabziihlbarkeit des Kontinuums;83
9.4.3;3. CANTORs "Kardinalzahlen";87
9.4.4;4. Die indirekte Beweismethode;88
9.4.5;5. Die Paradoxien des Unendlichen;89
9.4.6;6. Die Grundlagen der Mathematik;90
9.5;§ 5. Komplexe Zahlen;91
9.5.1;1. Der Ursprung der komplexen Zablen;91
9.5.2;2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen;94
9.5.3;3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln;98
9.5.4;*4. Der Fundamentalsatz der Algebra;100
9.6;*§ 6. Algebraische und transzendente Zahlen;102
9.6.1;1. Definition und Existenz;102
9.6.2;**2. Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen;103
10;Erganzung zu Kapitel II Mengenalgebra (Boolesche Algebra);106
10.1;1. Allgemeine Theorie;106
10.2;2. Anwendung auf die mathematische Logik;109
10.3;3. Eine Anwendung auf die WahrscheinIichkeitsrechnung;111
11;Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper Einleitung;113
11.1;I. Teil Unmoglichkeitsbeweise und Algebra;115
11.1.1;§ 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen;115
11.1.1.1;1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln;115
11.1.1.2;2. RegelmiUSige Vielecke;117
11.1.1.3;*3. Das Problem des APoLLoNlUs;119
11.1.2;* § 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkorper;121
11.1.2.1;1. Allgemeine Theorie;121
11.1.2.2;2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch;126
11.1.2.3;*§ 3. Die Unlosbarkeit der drei griechischen Probleme;127
11.1.2.3.1;1. Verdoppelung des Wiirfels;127
11.1.2.3.2;2. Ein Satz tiber kubische Gleichungen;128
11.1.2.3.3;3. Wiukeldreitellung;129
11.1.2.3.4;4. Das regelmia8ige Siebeneck;131
11.2;II. Teil Verschiedene Konsttuktionsmethoden;132
11.2.1;§ 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion;132
11.2.1.1;1. Allgemeine Bemerkungen;132
11.2.1.2;2. Eigenschaften der Inversion;133
11.2.1.3;3. Geometriscbe Konstruktion inverser Punkte;135
11.2.1.4;4. Halbierung emer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktesmit dem Zirkel allein;136
11.2.2;§ 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein;137
11.2.2.1;*1. Eine klassische Konstruktuion zur Verdoppelung des Wurfels;137
11.2.2.2;2. Beschrinkung auf die Benutzung des Zirkels allein;137
11.2.2.3;3. Das Zeichnen mit mechanischen Geraten.Mechanische Kurven. Zykloiden;141
11.2.2.4;*4. Gelenkmechanismen. PEAUCELLlER8 und HART8 Inversoren;143
11.2.3;§ 6. Weiteres liber die Inversion und ihre Anwendungen;145
11.2.3.1;1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen;145
11.2.3.2;2. Anwendung auf das Problem des APOLLONIUS;147
11.2.3.3;*3. Mehrfache Reflexionen;148
12;Viertes Kapitel Projektive Geometrie. Axiomatik.Nichteuklidische Geometrien;150
12.1;§ 1. Einleitung;150
12.1.1;1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen;150
12.1.2;2. Projektive Transformationen;151
12.2;§ 2. Grundlegende Begriffe;152
12.2.1;1. Die Gruppe der projektiven Transformationen;152
12.2.2;2. Der Satz von DESARGUES;154
12.3;§ 3. Das Doppelverhaltnis;155
12.3.1;1. Definition und Beweis der Invarianz;155
12.3.2;2. Anwendung auf das vollstandige Vierseit;159
12.4;§ 4. Parallelitat und Unendlichkeit;160
12.4.1;1. Unendlich feme Punkte aIs "uneigentliche Punktelt";160
12.4.2;2. Uneigentliche Elemente und Projektion;163
12.4.3;3. Doppelverhiiltnisse mit unenjlich femen Elementen;164
12.5;§ 5. Anwendungen;164
12.5.1;1. Vorbereitende Bemerkungen;164
12.5.2;2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene;165
12.5.3;3. Der PascaIsche Satz1;166
12.5.4;4. Der Satz von Brianchon;167
12.5.5;5. Das Dualitatsprinzip;167
12.6;§ 6. Analytische Darstellung;168
12.6.1;1. Einleitende Bemerkungen;168
12.6.2;*2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualitat;169
12.7;§ 7. Aufgaben uber Konstruktionen mit dem Lineal allein;172
12.8;§ 8. Kegelschnitte und FIachen zweiter Ordnung;173
12.8.1;1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte;173
12.8.2;2. Projektive Eigenschaften der KegeIschnitte;176
12.8.3;3. Kegelschnitte aIs Hiillkurven;178
12.8.4;4. Pascals und Brianchons allgemeine Sitze fUr Kegelschnitte;181
12.8.5;5. Das Hyperboloid;182
12.9;§ 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie;183
12.9.1;1. Die axiomatische Methode;183
12.9.2;2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie;186
12.9.3;3. Geometrie und Wirklichkeit;190
12.9.4;4. POINCARi8 Modell;191
12.9.5;5. Elliptiscbe oder Riemannsebe Geometrie;192
12.10;Anhang* Geometrie in mehr als drei Dimensionen;194
12.10.1;1. Einleitung;194
12.10.2;2. Die analytische Definition;194
12.10.3;*3. Die geometrische oder kombinatorische Definition;196
13;Ffinftes Kapitel Topologie Einleitung;200
13.1;§ 1. Die Eulersche Polyederformel;201
13.2;§ 2. Topologische Eigenschaften von Figuren;204
13.2.1;1. Topologische Eigenschaften;204
13.2.2;2. Zusammenhang;205
13.3;§ 3. Andere Beispiele topologischer Satze;206
13.3.1;1. Der Jordansche Kurvensatz;206
13.3.2;2. Das Vierfarbenproblem;208
13.3.3;*3. Der Begriff der Dimension;209
13.3.4;*4. Ein Fixpunktsatz;212
13.3.5;5. Knoten;215
13.4;§ 4. Topologische Klassifikation der Flichen;215
13.4.1;1. Das Geschlecht einer Fliche;215
13.4.2;*2. Die Eulersche Charakteristik einer Flache;217
13.4.3;3. Einseitige Fllchen;218
13.5;Anhang;220
13.5.1;*1. Der FiinHarbensatz;220
13.5.2;2. Der Jordansche Kurvensatz fUr Polygone;222
13.5.3;**3. Der Fundamentalsatz der Algebra;224
14;Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte Einleitung;227
14.1;§ 1. Variable und Funktion;228
14.1.1;1. Definitionen und Beispiele;228
14.1.2;2. Das Bogenma8 eines Winkels;231
14.1.3;3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen;232
14.1.4;4. Zusammengesetzte Funktionen;234
14.1.5;*6. Funktionen von mehreren VerinderHchen;237
14.1.6;*7. Funktionen und Transformationen;239
14.2;§ 2. Gremzwerte;240
14.2.1;1. Der Grenzwert einer Folge an;240
14.2.2;2. Monotone Folgen;244
14.2.3;3. Die Eulersche Zahl e;246
14.2.4;4. Die Zahl :c;247
14.2.5;*5. Kettenbriiche;249
14.3;§ 3. Grenzwerte bei stetiger Anniherung;251
14.3.1;1. Einleitung. Allgemeine Definition;251
14.3.2;2. Bemerkungen zum Begriff des Grenzwertes;252
14.3.3;3. Der Grenzwert von --:;-;254
14.3.4;4. Grenzwerte fUr x -+ 00;255
14.4;§ 4. Genaue Definition der Stetigkeit;256
14.5;§ 5. Zwei grundlegende Sitze liber stetige Funktionen;257
14.5.1;1. Der Satz von BOLZANO;257
14.5.2;*2. Beweis des Bolzanoschen Satzes;258
14.5.3;*3. Der Satz von WEIERSTRASS tiber Extremwerte;259
14.5.4;*4. Ein Satz tiber ZahlenfoIgen. Kompakte Hengen;260
14.6;§ 6. Einige Anwendungen des Satzes von BOLZANO;261
14.6.1;1. Geometrische Anwendungen;261
14.6.2;*2. Anwendung auf em mechanisches Problem;263
15;Erganzung zum Kapitel VI Weitere Beispiele fUr Grenzwerte und Stetigkeit;265
15.1;§ 1. Beispiele von Grenzwerten;265
15.1.1;1. Allgemeine Bemerkungen;265
15.1.2;2. Der Grenzwert von qn;265
15.1.3;3. Der Grenzwert von iiP;266
15.1.4;4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen;267
15.1.5;*'5. Grenzwerle durch Iteration;268
15.2;§ 2. Ein Beispiel fUr Stetigkeit;269
16;Siebentes Kapitel Maxima und Minima Einleitung;271
16.1;§ 1. Probleme aus der elementaren Geometrie;272
16.1.1;1. Die maximale Flache eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten;272
16.1.2;2. Der Satz des HERON. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen;272
16.1.3;3. Anwendungen auf Probleme fUr Dreiecke;273
16.1.4;4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel Entsprechende Extremaleigenschaften;274
16.1.5;*5. Extremale Abstiinde von einer gegebenen Kurve;276
16.2;*§ 2. Ein allgemeines Prinzip bei Extremalproblemen;278
16.2.1;1. Das Prinzip;278
16.2.2;2. Beispiele;279
16.3;§ 3. Stationire Punkte und Differentialrechnung;280
16.3.1;1. Extremwerte und stationiire Punkte;280
16.3.2;2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabeln. Sattelpunkte;281
16.3.3;3. Minimupunkte und Topologie;282
16.3.4;4. Der Abstand eines Punktes von einer Flkhe;283
16.4;§ 4. Das Schw8nsche Dreiecksproblem;284
16.4.1;1. Det Schwarzsche Spiegelungsbeweis;284
16.4.2;2. Ein zweiter Beweis;285
16.4.3;3. StumpfwinkJige Dreiecke;287
16.4.4;4. Dreiecke aus Lichtstrahlen;287
16.4.5;*5. Bemerkungen tiber Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung;288
16.5;§ 5. Das Steinersche Problem;289
16.5.1;1. Das Problem und seine LOsung;289
16.5.2;2. Diskussion der beiden Altemativen;290
16.5.3;3. Ein komplementares Problem;292
16.5.4;4. Bemerkungen und Ubungen;292
16.5.5;5. Verallgemeinerung auf das StraBennetz-Problem;293
16.6;§ 6. Extrema und Ungleichungen;294
16.6.1;1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver GroBen;294
16.6.2;2. VeraIlgemeinerung auf n Variable;295
16.6.3;3. Die Methode der kleinsten Quadrate;296
16.7;§ 7. Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip;297
16.7.1;1. Allgemeine Bemerkungen;297
16.7.2;2. Beispiele;299
16.7.3;3. Elementare Extremalprobleme;300
16.7.4;4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen;302
16.8;§ 8. Das isoperimetrische Problem;303
16.9;*§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen Zusammenhang zwischen dem Steinerschen Problem und dem isoperimetrischen Problem;305
16.10;§ 10. Die Variationsrechnung;308
16.10.1;1. Einleitung;308
16.10.2;2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik;309
16.10.3;3. BERNOULLI8 Behancllung des Problems der Brachystochrone;310
16.10.4;4. Geodatische Linien auf einer Kugel. Geodatische Linien und Maxi-Minima;311
16.11;§ 11. Experimentelle Losungen von Minimumproblemen Seifenhautexperimente;312
16.11.1;1. Einfiibrung;312
16.11.2;2. Seifenhautexperimente;313
16.11.3;3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem;314
16.11.4;4. Experimentelle LOsungen anderer mathematischer Probleme;317
17;Achtes KapitelDie Infinitesimalrechnung Einleitung;322
17.1;§ 1. Das Integral;323
17.1.1;1. Der Flacheninhalt als Grenzwert;323
17.1.2;2. Das Integral;324
17.1.3;3. Allgemeine Bemerkoogen zum Integralbegriff. Endgiiltige Definition;327
17.1.4;4. Beispiele. Integration von xn;328
17.1.5;5. Regeln der Integralrecbnung;332
17.2;§ 2. Die Ableitung;335
17.2.1;1. Die Ableitung als Steigung;335
17.2.2;2. Die Ableitung als Grenzwert;336
17.2.3;3. Beispiele;337
17.2.4;4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen;340
17.2.5;*5. DiHerentiation und Stetigkeit;340
17.2.6;6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung;341
17.2.7;7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung;343
17.2.8;8. Maxima und Minima;344
17.3;§ 3. Die Technik des Differenzierens;344
17.4;§ 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das "Unendlich Kleine";349
17.5;§ 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung;351
17.5.1;1. Der Fundamentalsatz;351
17.5.2;2. Erste AnwendUDgen. Integration von xr, cos x, sin x, arc tan x;354
17.5.3;3. Die Leibnizsche Forme. fUr n;356
17.6;§ 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmu8;357
17.6.1;1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl 8;357
17.6.2;2. Die Exponentialfunktion;359
17.6.3;3. Differentiationsformeln fUr ex, ax, x8;361
17.6.4;4. Explizite Auschiicke rur e, ex und In x als Limites;362
17.6.5;5. Unendliche Reihen fiir den Logarithmus. Numerische Berechnung;364
17.7;§ 7. DiHerentialgleichungen;366
17.7.1;1. Definition;366
17.7.2;2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion Radioaktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins;366
17.7.3;3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen;369
17.7.4;4. Newtons Grundgesetz der Dynamik;371
18;Erganzung zu Kapitel VIII;373
18.1;§ 1. GrundsitzUche Fragen;373
18.1.1;1. Differenzierbarkeit;373
18.1.2;2. Das Integral;375
18.2;§ 2. Grooenordnungen;378
18.2.1;1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x;378
18.2.2;2. Die Groobenorclnung von In (n!);380
18.3;§ 3. Unendliche Reihen und Produkte;381
18.3.1;1. Unendliche Reihen von Funktionen;381
18.3.2;2. Die Eulenche Formelcos:t + ; sin:t = "III;385
18.3.3;3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fUr den Sinus;387
18.4;**§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden;389
19;Anhang;393
19.1;Erganzungen, Probleme und Vbungsaufgaben;393
19.1.1;Arithmetik und Algebra;393
19.1.2;Analytische Geometrie;394
19.1.3;Geometrische Koustruldionen;399
19.1.4;Projektive und nichteuklidische Geometrie;400
19.1.5;Topologie;401
19.1.6;Maxima und Minima;404
19.1.7;Infinitesimalrechnung;406
19.1.8;Integrationstechnik;408
19.2;Hinweise auf weiterfiihrende Literatur;412
19.2.1;Kapitel I;412
19.2.2;Kapitel lI;412
19.2.3;Kapitel III;412
19.2.4;Kapitel IV;413
19.2.5;Kapitel V;413
19.2.6;Kapitel VI;413
19.2.7;Kapitel VII;413
19.2.8;Kapitel VIII;413
19.3;Sachvetzeichnis;414