Grundlagen und Differenzialrechnung
E-Book, Deutsch, 184 Seiten
ISBN: 978-3-446-41471-6
Verlag: Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
Format: PDF
Kopierschutz: Adobe DRM (»Systemvoraussetzungen)
Analysis gehört zum Pflichtprogramm der mathematischen Grundausbildung von Studierenden ingenieurwissenschaftlicher, wirtschaftswissenschaftlicher sowie informations- und kommunikationstechnischer Bachelor- und Masterstudiengänge an Fachhochschulen und Technischen Hochschulen.
Das in zwei Bänden erscheinende Arbeits- und Übungsbuch zur Analysis in der Reihe "Mathematik-Studienhilfen" gibt eine knappe, konzentrierte Darstellung der wesentlichen mathematischen Begriffe, Ergebnisse und Methoden und stellt das Einüben und Trainieren dieser anhand zahlreicher Beispiele mit vollständigem Lösungsweg in den Mittelpunkt. Das Buch eignet sich insbesondere zum Selbstudium und zur Prüfungsvorbereitung.
Im vorliegenden Band Analysis 1 reichen die Themen von Beweismethoden über Zahlenfolgen, Reihen und Funktionen bis zur Differenzialrechnung.
Die Autoren
Hans-Jürgen Dobner ist Professor für Angewandte Mathematik am Fachbereich IMN der HTWK Leipzig, er hält Mathematikvorlesungen in Bachelor- und Masterstudiengängen für Mathematiker und Informatiker.
Bernd Engelmann ist Professor für Numerische Mathematik, er hält Vorlesungen zur Höheren Mathematik für Ingenieure und zur Numerik für Informatiker und Mathematiker in Bachelor- und Masterstudiengängen.
Autoren/Hrsg.
Weitere Infos & Material
1;Vorwort;6
2;Inhaltsverzeichnis;8
3;1 Reelle und komplexe Zahlen;10
3.1;1.1 Natürliche, ganze und reelle Zahlen;10
3.2;1.2 Ungleichungen und Abschätzungen;13
3.3;1.3 Komplexe Zahlen;19
4;2 Mathematische Beweismethoden;32
4.1;2.1 Elementare Logik;32
4.2;2.2 Direkter Beweis;36
4.3;2.3 Indirekter Beweis;39
4.4;2.4 Induktiver Beweis;44
5;3 Zahlenfolgen und Konvergenz;53
5.1;3.1 Zahlenfolgen und ihre Grenzwerte;53
5.2;3.2 Rechnen mit konvergenten Folgen;57
5.3;3.3 Die Eulersche Zahl e als Grenzwert;60
5.4;3.4 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen;62
6;4 Zahlenreihen;69
6.1;4.1 Zahlenreihen und geometrische Reihen;69
6.2;4.2 Konvergenzkriterien für Reihen;73
6.3;4.3 Rechnen mit konvergenten Reihen;79
6.4;4.4 Beispiele zur Anwendung der Kriterien;80
7;5 Funktionen;88
7.1;5.1 Der Funktionsbegriff;88
7.2;5.2 Eigenschaften von Funktionen;90
7.3;5.3 Funktion und Umkehrfunktion;94
7.4;5.4 Grenzwerte von Funktionen;97
7.5;5.5 Stetigkeit von Funktionen;102
8;6 Die elementaren Funktionen;111
8.1;6.1 Polynome und Horner-Schema;111
8.2;6.2 Gebrochenrationale Funktionen;121
8.3;6.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen;124
8.4;6.4 Potenz- und Wurzelfunktionen;125
8.5;6.5 Winkel- und Arkusfunktionen;126
8.6;6.6 Hyperbel- und Areafunktionen;133
9;7 Die Ableitung;137
9.1;7.1 Das Tangentenproblem;137
9.2;7.2 Differenziationsregeln;141
9.3;7.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen;147
9.4;7.4 Das Differenzial;150
10;8 Anwendungen der Differenzialrechnung;153
10.1;8.1 Die Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitung;153
10.2;8.2 Taylorsche Formel und Taylorsche Reihe;156
10.3;8.3 Die Regeln von l’Hospital;164
10.4;8.4 Die Bestimmung von Nullstellen und Extremwerten;168
11;Lösungen;173
12;Literaturverzeichnis;181
13;Sachwortverzeichnis;182
6 Die elementaren Funktionen (S. 110)
6.1 Polynome und Horner-Schema
Polynome nehmen eine zentrale Stellung in der Analysis und den Anwendungen ein. Dies ist zum Ersten dadurch bedingt, dass sich differenzierbare Funktionen zumindest lokal durch Polynome beliebig genau annähern lassen (vgl. den Satz von Taylor im Abschnitt 8.2) und zum Zweiten, dass Polynome allein mit Hilfe der elementaren Grundoperationen berechenbar sind und damit eine numerische Auswertung z. B.auf einem Digitalrechner ohne zusätzliche Näherungen möglich ist. Funktionen, die sich allein mit Hilfe endlich vieler Grundoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) berechnen lassen, werden als rationale Funktionen bezeichnet.
