Engeln-Müllges / Niederdrenk / Wodicka Numerik-Algorithmen

Verfahren, Beispiele, Anwendungen
10., überarbeitete und erweiterte Auflage 2011
ISBN: 978-3-642-13473-9
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 756 Seiten

Reihe: Xpert.press

Die praxisnahe Einführung behandelt grundlegende Aufgabengebiete der Numerischen Mathematik, u. a. lineare und nichtlineare Gleichungen und Systeme, Eigenwerte von Matrizen, Approximation, Quadratur und Kubatur sowie Ausgangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die Autoren beschreiben die mathematischen und numerischen Prinzipien und stellen leistungsfähige Algorithmen vor. Für die Auswahl der jeweils geeigneten Methode liefern sie Entscheidungshilfen. Eigens entwickelte Programme in C stehen im Internet zur Verfügung.

Gisela Engeln-Müllges war von 1982 bis 2005 Professorin am Fachbereich Maschinenbau und Mechatronik der Fachhochschule Aachen mit dem Lehr- und Forschungsgebiet Numerische Mathematik und Datenverarbeitung, 1991 bis 2005  Prorektorin für Forschung. Von 1997 bis 2003 war sie Mitglied des Wissenschaftsrates. Seit 2005 ist sie in diversen wissenschaftsbezogenen Gremien, Jurys und Arbeitsgruppen tätig.Klaus Niederdrenk ist seit 1993 als Professor an der Fachhochschule Münster tätig. Von 1998 bis 2008 war er Rektor dieser Einrichtung, seit 2009 gehört er dem Fachbereich Wirtschaft mit dem Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik, Quantitative Methoden an. Von 2004 bis 2007 war er Vorstandsmitglied im DAAD, seit 2007 ist er Mitglied im Wissenschaftsrat. Außerdem ist er in zahlreichen wissenschaftsbezogenen Gremien und Kommissionen engagiert.Reinhard Wodicka arbeitete von 1953 bis 1988 am Institut für Geometrie und Praktische Mathematik der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen in verschiedenen Positionen, zuletzt war er dort ab 1975 als Studienprofessor tätig. Nach seiner Pensionierung setzte er sich intensiv mit Fragen der Numerischen Mathematik auseinander.

Autoren/Hrsg.

Engeln-Müllges, Gisela

Niederdrenk, Klaus

Wodicka, Reinhard

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort zur 10. korrigiertenund erweiterten Auflage;6
2;Informationen zu Quelltexten f¨ur diebeschriebenen Algorithmen;8
2.1;Bemerkungen zur vorliegenden C-Version;10
2.2;Weitere Software im Umfeld der Numerik-Bibliothek;11
3;Bezeichnungen;12
4;Inhaltsverzeichnis;14
5;Kapitel 1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse,Kondition und Stabilit¨at;22
5.1;1.1 Definition von Fehlergr¨oßen;22
5.2;1.2 Zahlensysteme;24
5.2.1;1.2.1 Darstellung ganzer Zahlen;24
5.2.2;1.2.2 Darstellung reeller Zahlen;27
5.3;1.3 Rechnung mit endlicher Stellenzahl;32
5.4;1.4 Fehlerquellen;38
5.4.1;1.4.1 Eingabefehler;38
5.4.2;1.4.2 Verfahrensfehler;39
5.4.3;1.4.3 Fehlerfortpflanzung und die Kondition eines Problems;40
5.4.4;1.4.4 Rechnungsfehler und numerische Stabilit¨at;45
6;Kapitel 2 Numerische Verfahren zur L¨osungnichtlinearer Gleichungen;48
6.1;2.1 Aufgabenstellung und Motivation;48
6.2;2.2 Definitionen und S¨atze ¨uber Nullstellen;50
6.3;2.3 Allgemeines Iterationsverfahren;52
6.3.1;2.3.1 Konstruktionsmethode und Definition;52
6.3.2;2.3.2 Existenz einer L¨osung und Eindeutigkeit der L¨osung;55
6.3.3;2.3.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens;58
6.3.3.1;2.3.3.1 Heuristische Betrachtungen;58
6.3.3.2;2.3.3.2 Analytische Betrachtung;60
6.3.4;2.3.4 Fehlerabsch¨atzungen und Rechnungsfehler;61
6.3.5;2.3.5 Praktische Durchf¨uhrung;67
6.4;2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens;70
6.5;2.5 Newtonsche Verfahren;72
6.5.1;2.5.1 Das Newtonsche Verfahren f¨ur einfache Nullstellen;72
6.5.2;2.5.2 Ged¨ampftes Newton-Verfahren;78
6.5.3;2.5.3 Das Newtonsche Verfahren f¨ur mehrfache Nullstellen.Das modifizierte Newtonsche Verfahren;78
6.6;2.6 Das Sekantenverfahren;84
6.6.1;2.6.1 Das Sekantenverfahren f¨ur einfache Nullstellen;84
6.6.2;2.6.2 Das modifizierte Sekantenverfahrenf¨ur mehrfache Nullstellen;87
6.7;2.7 Einschlussverfahren;87
6.7.1;2.7.1 Das Prinzip der Einschlussverfahren;88
6.7.2;2.7.2 Das Bisektionsverfahren;90
6.7.3;2.7.3 Die Regula falsi;92
6.7.4;2.7.4 Das Pegasus-Verfahren;95
6.7.5;2.7.5 Das Verfahren von Anderson-Bj¨orck;98
6.7.6;2.7.6 Die Verfahren von King und Anderson-Bj¨orck-King.Das Illinois-Verfahren;101
6.7.7;2.7.7 Ein kombiniertes Einschlussverfahren;102
6.7.8;2.7.8 Das Zeroin-Verfahren;104
6.8;2.8 Anwendungsbeispiele;106
6.9;2.9 Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen;110
7;Kapitel 3 Verfahren zur L¨osung algebraischerGleichungen;112
7.1;3.1 Vorbemerkungen;112
7.2;3.2 Das Horner-Schema;113
7.2.1;3.2.1 Das einfache Horner-Schema f¨ur reelle Argumentwerte;114
7.2.2;3.2.2 Das einfache Horner-Schema f¨ur komplexe Argumentwerte;116
7.2.3;3.2.3 Das vollst¨andige Horner-Schema f¨ur reelle Argumentwerte;118
7.2.4;3.2.4 Anwendungen;121
7.3;3.3 Methoden zur Bestimmung s¨amtlicherL¨osungen algebraischer Gleichungen;122
7.3.1;3.3.1 Vorbemerkungen und ¨Uberblick;122
7.3.2;3.3.2 Das Verfahren von Muller;123
7.3.3;3.3.3 Das Verfahren von Bauhuber;130
7.3.4;3.3.4 Das Verfahren von Jenkins und Traub;132
7.4;3.4 Anwendungsbeispiel;133
7.5;3.5 Entscheidungshilfen;134
8;Kapitel 4 Direkte Verfahrenzur L¨osung linearer Gleichungssysteme;135
8.1;4.1 Aufgabenstellung und Motivation;135
8.2;4.2 Definitionen und S¨atze;140
8.3;4.3 L¨osbarkeitsbedingungenf¨ur ein lineares Gleichungssystem;152
8.4;4.4 Prinzip der direkten Methodenzur L¨osung linearer Gleichungssysteme;153
8.5;4.5 Der Gauß-Algorithmus;156
8.5.1;4.5.1 Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotsucheals Rechenschema;156
8.5.2;4.5.2 Spaltenpivotsuche;161
8.5.3;4.5.3 Gauß-Algorithmus als Dreieckszerlegung;165
8.5.4;4.5.4 Gauß-Algorithmus f¨ur Systememit mehreren rechten Seiten;169
8.6;4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß-Algorithmus;171
8.7;4.7 Verfahren f¨ur Systememit symmetrischen Matrizen;173
8.7.1;4.7.1 Systeme mit symmetrischer, streng regul¨arer Matrix;174
8.7.2;4.7.2 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.Cholesky-Verfahren;175
8.7.3;4.7.3 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix.Verfahren der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren);180
8.8;4.8 Das Gauß-Jordan-Verfahren;184
8.9;4.9 Gleichungssysteme mit tridiagonaler Matrix;185
8.9.1;4.9.1 Systeme mit tridiagonaler Matrix;185
8.9.2;4.9.2 Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler,positiv definiter Matrix;189
8.10;4.10 Gleichungssystememit zyklisch tridiagonaler Matrix;192
8.10.1;4.10.1 Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix;192
8.10.2;4.10.2 Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix;195
8.11;4.11 Gleichungssysteme mit f¨unfdiagonaler Matrix;197
8.11.1;4.11.1 Systeme mit f¨unfdiagonaler Matrix;197
8.11.2;4.11.2 Systeme mit symmetrischer, f¨unfdiagonaler,positiv definiter Matrix;200
8.12;4.12 Gleichungssysteme mit Bandmatrix;203
8.13;4.13 L¨osung ¨uberbestimmter linearer Gleichungssystememit Householdertransformation;214
8.14;4.14 Fehler, Kondition und Nachiteration;219
8.14.1;4.14.1 Fehler und Kondition;219
8.14.2;4.14.2 Konditionssch¨atzung;223
8.14.3;4.14.3 M¨oglichkeiten zur Konditionsverbesserung;228
8.14.4;4.14.4 Nachiteration;228
8.15;4.15 Gleichungssysteme mit Blockmatrix;230
8.15.1;4.15.1 Vorbemerkungen;230
8.15.2;4.15.2 Gauß-Algorithmus f¨ur Blocksysteme;231
8.15.3;4.15.3 Gauß-Algorithmus f¨ur tridiagonale Blocksysteme;233
8.15.4;4.15.4 Weitere Block-Verfahren;234
8.16;4.16 Algorithmus von Cuthill-McKeef¨ur d¨unn besetzte, symmetrische Matrizen;235
8.17;4.17 Entscheidungshilfenf¨ur die Auswahl des Verfahrens;239
9;Kapitel 5 Iterationsverfahren zur L¨osunglinearer Gleichungssysteme;242
9.1;5.1 Vorbemerkungen;242
9.2;5.2 Vektor- und Matrizennormen;242
9.3;5.3 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten;244
9.4;5.4 Das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren,Iteration in Einzelschritten;253
9.5;5.5 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren;255
9.6;5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren.SOR-Verfahren;255
9.6.1;5.6.1 Sch¨atzung des Relaxationskoeffizienten.Adaptives SOR-Verfahren;256
10;Kapitel 6 Systeme nichtlinearer Gleichungen;259
10.1;6.1 Aufgabenstellung und Motivation;259
10.2;6.2 Allgemeines Iterationsverfahren f¨ur Systeme;262
10.3;6.3 Spezielle Iterationsverfahren;268
10.3.1;6.3.1 Newtonsche Verfahren f¨ur nichtlineare Systeme;268
10.3.1.1;6.3.1.1 Das quadratisch konvergente Newton-Verfahren;268
10.3.1.2;6.3.1.2 Ged¨ampftes Newton-Verfahren f¨ur Systeme;271
10.3.2;6.3.2 Sekantenverfahren f¨ur nichtlineare Systeme;272
10.3.3;6.3.3 Das Verfahren des st¨arksten Abstiegs(Gradientenverfahren) f¨ur nichtlineare Systeme;273
10.3.4;6.3.4 Das Verfahren von Brown f¨ur Systeme;275
10.4;6.4 Entscheidungshilfen f¨ur die Auswahl der Methode;276
11;Kapitel 7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen;277
11.1;7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen;277
11.2;7.2 Diagonal¨ahnliche Matrizen;278
11.3;7.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises;280
11.3.1;7.3.1 Bestimmung des betragsgr¨oßten Eigenwertesund des zugeh¨origen Eigenvektors;280
11.3.2;7.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes;287
11.3.3;7.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren;287
11.4;7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen;289
11.5;7.5 Das Verfahren von Krylov;290
11.5.1;7.5.1 Bestimmung der Eigenwerte;290
11.6;7.6 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter,symmetrischer, tridiagonaler Matrizen mit Hilfedes QD-Algorithmus;293
11.7;7.7 Transformationen auf Hessenbergform,LR- und QR-Verfahren;294
11.7.1;7.7.1 Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform;294
11.7.2;7.7.2 LR - Verfahren;298
11.7.3;7.7.3 QR - Verfahren;300
11.8;7.8 Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoreneiner Matrix nach den Verfahren von Martin,Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson;301
11.9;7.9 Entscheidungshilfen;302
11.10;7.10 Anwendungsbeispiel;303
12;Kapitel 8 Lineare und nichtlineare Approximation;308
12.1;8.1 Aufgabenstellung und Motivation;308
12.2;8.2 Lineare Approximation;311
12.2.1;8.2.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation;311
12.2.2;8.2.2 Kontinuierliche lineare Approximationim quadratischen Mittel;313
12.2.3;8.2.3 Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel;319
12.2.3.1;8.2.3.1 Normalgleichungen f¨ur den diskreten linearen Ausgleich;319
12.2.3.2;8.2.3.2 Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynomeunter Verwendung orthogonaler Polynome;325
12.2.3.3;8.2.3.3 Lineare Regression. Ausgleich durch lineare algebraische Polynome;327
12.2.3.4;8.2.3.4 Householder-Transformationzur L¨osung des linearen Ausgleichsproblems;330
12.2.4;8.2.4 Approximation von Polynomendurch Tschebyscheff-Polynome;333
12.2.4.1;8.2.4.1 Beste gleichm¨aßige Approximation, Definition;333
12.2.4.2;8.2.4.2 Approximation durch Tschebyscheff-Polynome;334
12.2.5;8.2.5 Approximation periodischer Funktionen;340
12.2.5.1;8.2.5.1 Kontinuierliche Approximation periodischer Funktionenim quadratischen Mittel;341
12.2.5.2;8.2.5.2 Diskrete Approximation periodischer Funktionenim quadratischen Mittel;343
12.2.5.3;8.2.5.3 Fourier-Transformation und FFT;346
12.2.6;8.2.6 Fehlerabsch¨atzungen f¨ur lineare Approximationen;353
12.2.6.1;8.2.6.1 Gleichm¨aßige Approximation durch algebraische Polynome;354
12.2.6.2;8.2.6.2 Gleichm¨aßige Approximation durch trigonometrische Polynome;357
12.3;8.3 Diskrete nichtlineare Approximation;359
12.3.1;8.3.1 Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich;359
12.3.2;8.3.2 Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel;365
12.4;8.4 Entscheidungshilfen;365
13;Kapitel 9 Polynomiale Interpolation sowieShepard-Interpolation;367
13.1;9.1 Aufgabenstellung;367
13.2;9.2 Interpolationsformeln von Lagrange;369
13.2.1;9.2.1 Lagrangesche Formel f¨ur beliebige St¨utzstellen;369
13.2.2;9.2.2 Lagrangesche Formel f¨ur ¨aquidistante St¨utzstellen;371
13.3;9.3 Aitken-Interpolationsschemaf¨ur beliebige St¨utzstellen;372
13.4;9.4 Inverse Interpolation nach Aitken;376
13.5;9.5 Interpolationsformeln von Newton;378
13.5.1;9.5.1 Newtonsche Formel f¨ur beliebige St¨utzstellen;378
13.5.2;9.5.2 Newtonsche Formel f¨ur ¨aquidistante St¨utzstellen;381
13.6;9.6 Absch¨atzung und Sch¨atzungdes Interpolationsfehlers;384
13.7;9.7 Zweidimensionale Interpolation;389
13.7.1;9.7.1 Zweidimensionale Interpolationsformel von Lagrange;390
13.7.2;9.7.2 Shepard-Interpolation;392
13.8;9.8 Entscheidungshilfen;401
14;Kapitel 10 Interpolierende Polynom-Splines zurKonstruktion glatter Kurven;403
14.1;10.1 Polynom-Splines dritten Grades;403
14.1.1;10.1.1 Aufgabenstellung;406
14.1.2;10.1.2 Woher kommen Splines? Mathematische Analyse;411
14.1.3;10.1.3 Anwendungsbeispiele;413
14.1.4;10.1.4 Definition verschiedener Arten nichtparametrischerkubischer Splinefunktionen;418
14.1.5;10.1.5 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines;424
14.1.6;10.1.6 Berechnung der parametrischen kubischen Splines;441
14.1.7;10.1.7 Kombinierte interpolierende Polynom-Splines;449
14.1.8;10.1.8 N¨aherungsweise Ermittlung von Randableitungendurch Interpolation;454
14.1.9;10.1.9 Konvergenz und Fehlerabsch¨atzungeninterpolierender kubischer Splines;456
14.2;10.2 Hermite-Splines f¨unften Grades;458
14.2.1;10.2.1 Definition der nichtparametrischenund parametrischen Hermite-Splines;458
14.2.2;10.2.2 Berechnung der nichtparametrischen Hermite-Splines;459
14.2.3;10.2.3 Berechnung der parametrischen Hermite-Splines;463
14.3;10.3 Polynomiale kubische Ausgleichssplines;468
14.3.1;10.3.1 Aufgabenstellung und Motivation;468
14.3.2;10.3.2 Konstruktion der nichtparametrischen Ausgleichssplines;472
14.3.3;10.3.3 Berechnung der parametrischen kubischenAusgleichssplines;480
14.4;10.4 Entscheidungshilfen f¨ur die Auswahleiner geeigneten Splinemethode;481
15;Kapitel 11 Akima- und Renner-Subsplines;485
15.1;11.1 Akima-Subsplines;485
15.2;11.2 Renner-Subsplines;492
15.3;11.3 Abrundung von Eckenbei Akima- und Renner-Kurven;502
15.4;11.4 Berechnung der L¨ange einer Kurve;506
15.5;11.5 Fl¨acheninhalt einer geschlossenen ebenen Kurve;509
15.6;11.6 Entscheidungshilfen;512
16;Kapitel 12 Zweidimensionale Splines,Oberfl¨achensplines, B´ezier-Splines, B-Splines;513
16.1;12.1 Interpolierende zweidimensionalePolynomsplines dritten Gradeszur Konstruktion glatter Fl¨achen;513
16.2;12.2 Zweidimensionale interpolierendeOberfl¨achensplines;527
16.3;12.3 B´ezier-Splines;530
16.3.1;12.3.1 B´ezier-Spline-Kurven;531
16.3.2;12.3.2 B´ezier-Spline-Fl¨achen;535
16.3.3;12.3.3 Modifizierte (interpolierende) kubische B´ezier-Splines;543
16.4;12.4 B-Splines;544
16.4.1;12.4.1 B-Spline-Kurven;544
16.4.2;12.4.2 B-Spline-Fl¨achen;550
16.5;12.5 Anwendungsbeispiel;555
16.6;12.6 Entscheidungshilfen;560
17;Kapitel 13 Numerische Differentiation;562
17.1;13.1 Aufgabenstellung und Motivation;562
17.2;13.2 Differentiation mit Hilfe einesInterpolationspolynoms;563
17.3;13.3 Differentiation mit Hilfeinterpolierender kubischer Polynom-Splines;566
17.4;13.4 Differentiation mit dem Romberg-Verfahren;568
17.5;13.5 Entscheidungshilfen;574
18;Kapitel 14 Numerische Quadratur;575
18.1;14.1 Vorbemerkungen;575
18.2;14.2 Konstruktion vonInterpolationsquadraturformeln;578
18.3;14.3 Newton-Cotes-Formeln;581
18.3.1;14.3.1 Die Sehnentrapezformel;583
18.3.2;14.3.2 Die Simpsonsche Formel;589
18.3.3;14.3.3 Die 3/8-Formel;593
18.3.4;14.3.4 Weitere Newton-Cotes-Formeln;597
18.3.5;14.3.5 Zusammenfassung zur Fehlerordnungvon Newton-Cotes-Formeln;601
18.4;14.4 Quadraturformeln von Maclaurin;602
18.4.1;14.4.1 Die Tangententrapezformel;602
18.4.2;14.4.2 Weitere Maclaurin-Formeln;605
18.5;14.5 Die Euler-Maclaurin-Formeln;606
18.6;14.6 Tschebyscheffsche Quadraturformeln;609
18.7;14.7 Quadraturformeln von Gauß;611
18.8;14.8 Berechnung von Gewichten und St¨utzstellenverallgemeinerter Gauß-Quadraturformeln;615
18.9;14.9 Quadraturformeln von Clenshaw-Curtis;618
18.10;14.10 Das Verfahren von Romberg;619
18.11;14.11 Fehlersch¨atzung und Rechnungsfehler;626
18.12;14.12 Adaptive Quadraturverfahren;628
18.13;14.13 Konvergenz der Quadraturformeln;629
18.14;14.14 Anwendungsbeispiel;631
18.15;14.15 Entscheidungshilfen f¨ur die Auswahlder geeigneten Methode;632
19;Kapitel 15 Numerische Kubatur;633
19.1;15.1 Problemstellung;633
19.2;15.2 Konstruktion von Interpolationskubaturformeln;635
19.3;15.3 Newton-Cotes-Formelnf¨ur rechteckige Integrationsbereiche;638
19.4;15.4 Das Romberg-Kubaturverfahren f¨urRechteckbereiche;646
19.5;15.5 Gauß-Kubaturformeln f¨ur Rechteckbereiche;649
19.6;15.6 Berechnung des Riemannschen Fl¨achenintegralsmit bikubischen Splines;652
19.7;15.7 Vergleich der Verfahren anhand von Beispielen;652
19.8;15.8 Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche;657
19.8.1;15.8.1 Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten;657
19.8.1.1;15.8.1.1 Newton-Cotes-Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche mitachsenparallelen Katheten;657
19.8.1.2;15.8.1.2 Gauß-Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten;660
19.8.2;15.8.2 Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche allgemeiner Lage;664
19.8.2.1;15.8.2.1 Newton-Cotes-Kubaturformelnf¨ur Dreieckbereiche allgemeiner Lage;665
19.8.2.2;15.8.2.2 Gauß-Kubaturformeln f¨ur Dreieckbereiche allgemeiner Lage;668
19.9;15.9 Entscheidungshilfen;671
20;Kapitel 16 Anfangswertprobleme bei gew¨ohnlichenDifferentialgleichungen;672
20.1;16.1 Problemstellung;672
20.2;16.2 Prinzip der numerischen Verfahren;673
20.3;16.3 Einschrittverfahren;674
20.3.1;16.3.1 Das Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy;674
20.3.2;16.3.2 Das verbesserte Euler-Cauchy-Verfahren;677
20.3.3;16.3.3 Praediktor-Korrektor-Verfahren von Heun;682
20.3.4;16.3.4 Explizite Runge-Kutta-Verfahren;686
20.3.4.1;16.3.4.1 Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren;686
20.3.4.2;16.3.4.2 Klassisches Runge-Kutta-Verfahren;686
20.3.4.3;16.3.4.3 Zusammenstellung expliziter Runge-Kutta-Formeln;692
20.3.4.4;16.3.4.4 Einbettungsformeln;697
20.3.5;16.3.5 Implizite Runge-Kutta-Verfahren vom Gauß-Typ;709
20.3.6;16.3.6 Gemeinsame Darstellung aller Einschrittverfahren.Verfahrensfunktion eines Einschrittverfahrens. Konsistenz;711
20.3.7;16.3.7 Fehlersch¨atzung und automatische Schrittweitensteuerung;713
20.3.7.1;16.3.7.1 Fehlersch¨atzung;713
20.3.7.2;16.3.7.2 Methoden zur automatischen Schrittweitensteuerung.Adaptive Anfangswertprobleml¨oser;714
20.4;16.4 Mehrschrittverfahren;717
20.4.1;16.4.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren;717
20.4.2;16.4.2 Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth;718
20.4.3;16.4.3 Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams-Moulton;720
20.4.4;16.4.4 Verfahren von Adams-St¨ormer;726
20.4.5;16.4.5 Fehlersch¨atzungsformeln f¨ur Mehrschrittverfahren;727
20.5;16.5 Extrapolationsverfahren vonBulirsch-Stoer-Gragg;728
20.6;16.6 Stabilit¨at;730
20.6.1;16.6.1 Vorbemerkungen;730
20.6.2;16.6.2 Stabilit¨at der Differentialgleichung;731
20.6.3;16.6.3 Stabilit¨at des numerischen Verfahrens;731
20.7;16.7 Steife Differentialgleichungssysteme;736
20.7.1;16.7.1 Problemstellung;736
20.7.2;16.7.2 Kriterien f¨ur Steifheit eines Systems;736
20.7.3;16.7.3 Das Verfahren von Gear zur Integration steifer Systeme;737
20.8;16.8 Entscheidungshilfen bei derWahl des Verfahrens;741
21;Literaturverzeichnis;745
22;Sachwortverzeichnis;757