Fomin / Genkin / Itenberg Círculos matemáticos

1. Auflage 2015
ISBN: 978-84-675-8909-2
Verlag: Ediciones SM España
Format: EPUB
Kopierschutz: Adobe DRM (»Systemvoraussetzungen)

E-Book, Spanisch, Band 1, 353 Seiten

Reihe: Estímulos Matemáticos

Con la idea de que pensar y discutir sobre problemas matemáticos podría generar el mismo entusiasmo que practicar un deporte en equipo, en la antigua Unión Soviética surgió el singular movimiento cultural de los CÍRCULOS MATEMÁTICOS, que dejó tras de sí un intenso rastro de problemas, enfoques y textos. CÍRCULOS MATEMÁTICOS recoge parte de aquella emocionante experiencia.Es un libro de divulgación matemática dirigido a todos aquellos que sienta curiosidad por el juego mental que implican las matemáticas y que deseen indagar en sus ramas menos conocidas. También es un libro ideal para estudiantes que quieran salir de los límites del curriculum escolar, y para profesores que deseen proponer retos matemáticos interesantes pero que no requieran técnicas complicadas para resolverse.

Autoren/Hrsg.

Fomin, Dmitry

Genkin, Sergey

Itenberg, Ilia

Weitere Mitwirkende

Hernando Arnáiz, Enrique

Leseproben

Capítulo 1
Paridad

El concepto de paridad (par o impar), a pesar de su gran simplicidad, aparece en la solución de los más variados tipos de cuestiones. Resulta útil en la resolución de muchos problemas, incluyendo algunos bastante difíciles.

Su sencillez nos permite proponer problemas para estudiantes que cuenten con muy pocos conocimientos técnicos. Esto hace incluso más importante de lo habitual el insistir en la esencia común que tiene este tipo de problemas.

§ 1.  Alternancias

Problema 1. Once engranajes están colocados en el plano formando una cadena como la que se muestra en la figura. ¿Pueden girar todos ellos a la vez?

–Solución. La respuesta es que no. Supongamos que el primer engranaje gira en el sentido de las agujas del reloj. Entonces, el segundo engranaje debería rotar en el sentido opuesto a las agujas; el tercero, en el sentido de las agujas de nuevo; el cuarto, en sentido inverso, y así sucesivamente. Está claro que los engranajes impares deben girar en el sentido de las agujas del reloj, mientras que los pares deben rotar en el sentido opuesto a las mismas. Por tanto, los engranajes 1 y 11 deben girar en el mismo sentido, algo claramente imposible.

La idea principal en la solución de este problema es que los engranajes rotan en el sentido de las agujas del reloj o en el opuesto de forma alternada. Encontrar objetos que se alternen es también la idea básica en la solución de los siguientes problemas.

Problema 2. En un tablero de ajedrez, un caballo comienza en la casilla a1 y vuelve a ella después de muchos movimientos. Demuestra que el caballo realiza un número par de movimientos.

Problema 3. ¿Puede un caballo que está en la casilla a1 de un tablero de ajedrez ir hasta la casilla h8 pasando una sola vez por cada una de las demás casillas? (Nombramos las filas del tablero como a, b, c, d, e, f, g y h, y numeramos las columnas de izquierda a derecha desde la 1 hasta la 8. [N. del T.]).

–Solución. No, no puede. En cada movimiento, un caballo salta de una casilla de un color a una del otro color. Como el caballo debe realizar 63 movimientos, el último movimiento, que es impar, debe llevarlo a una casilla del color opuesto al de la casilla en la que empezó. Sin embargo, las casillas a1 y h8 son del mismo color.

Como en el problema 3, muchos de los que se proponen en este apartado consisten en probar que ciertas situaciones son imposibles. De hecho, cuando en un problema de esta sección se pide determinar si algo es posible, la respuesta es invariablemente negativa. Esto plantea alguna dificultad para estudiantes matemáticamente poco experimentados. Su primera reacción es de frustración; bien por no conseguir que se cumplan las condiciones exigidas en el enunciado (que no es posible satisfacer) o bien por ser incapaces de determinar que es imposible, al carecer de una idea clara de cómo hacerlo.

He aquí un problema sencillo, relacionado con los problemas de paridad que veremos más adelante en esta sección, que puede aclarar este punto.

¿Es posible encontrar cinco números impares cuya suma sea 100?

Una discusión acerca de esto permite averiguar qué estudiantes se dan cuenta realmente de que no encuentran la solución del problema, no porque no se les ocurra, sino por la propia contradicción que encierra. Está comprobado que las demostraciones por contradicción, así como las demostraciones de imposibilidad, son fuente de confusión para los alumnos. Los problemas de paridad son una forma simple y efectiva de introducir estos dos conceptos.

Problema 4. Construimos una línea poligonal cerrada con 11 segmentos. ¿Puede una recta que no contenga vértice alguno del polígono cortar cada uno de sus lados?

Problema 5. Tres discos de hockey A, B y C están en una pista de juego. Un jugador golpea uno de ellos de tal modo que pasa entre los otros dos. Lo hace 25 veces. ¿Puede volver a colocar los discos en sus posiciones iniciales?

Problema 6. Katia y sus amigos están de pie en un círculo, de forma que cada uno está entre dos del mismo sexo. Si hay cinco niños en el círculo, ¿cuántas niñas hay?

Hagamos notar aquí un principio adicional que se usa en la solución del problema anterior: en una cadena cerrada de objetos de tipos que se alternan hay tantos objetos de un tipo (en este caso, niños) como del otro (niñas).

§ 2. Haciendo parejas

Problema 7. ¿Podemos dibujar un camino cerrado compuesto por nueve segmentos de manera que cada uno de ellos corte solo a uno de los restantes?

–Solución. Si fuese posible tal tipo de camino, podríamos agrupar por parejas todos los segmentos que lo forman, pero, para ello, el número de segmentos debería ser par.

Resaltemos la idea principal utilizada en la resolución del problema anterior: si podemos agrupar los objetos de una familia por parejas, entonces habrá un número par de ellos. En lo que sigue se plantea una serie de problemas similares.

Problema 8. ¿Podemos cubrir un tablero de ajedrez de 5 × 5 con fichas de dominó de dimensiones 1 × 2?

Problema 9. Prueba que si un polígono convexo de 101 lados tiene un eje de simetría, dicho eje de simetría pasa por uno de sus vértices. ¿Qué se puede afirmar si el polígono tiene 10 lados? 1

Los problemas 10 y 11 hacen referencia a fichas de dominó rectangulares, de dimensiones 2 × 1, que tienen grabados un cierto número de puntos (entre cero y seis) en cada uno de los dos cuadrados que las forman. Un juego de dominó consta de las 28 fichas que es posible construir, teniendo en cuenta las posibles distribuciones de puntos en las parejas de cuadrados. El juego consiste en hacer una cadena en la que los cuadrados adyacentes tengan igual número de puntos.

Problema 10. Al terminar una partida de dominó (en la que se han colocado todas las fichas) observamos que el primer número de la cadena es un 5. ¿Qué número aparece al final?

Problema 11. De un dominó retiramos todas las fichas que tengan algún cuadrado blanco. ¿Se puede construir una cadena usando todas las restantes?

Problema 12. ¿Es posible dividir un polígono convexo de 13 lados en paralelogramos?

Problema 13. Se colocan 15 damas en un tablero de 5 × 5 de tal modo que sus posiciones son simétricas respecto a una de las diagonales. Prueba que al menos una de las damas está colocada sobre la diagonal.

–Solución. Si ninguna de las damas estuviera sobre la diagonal, podrían ser agrupadas en parejas simétricas con respecto a ella. Por tanto, debe haber una dama (y, de hecho, un número impar de damas) colocada sobre la diagonal.

Al resolver este problema, los estudiantes tienen dificultades a menudo para entender que puede haber no solo una, sino cualquier otro número impar de damas en la diagonal.

Para este problema podemos formular la siguiente afirmación sobre particiones en parejas: si un cierto conjunto tiene una cantidad impar de objetos y los emparejamos, al menos uno de ellos se queda sin pareja.

Problema 14. Supongamos ahora que la posición de las damas en el problema 13 es simétrica con respecto a ambas diagonales del tablero. Prueba que una de las damas está colocada justo en el centro.

Problema 15. En cada una de las casillas de un tablero de 15 × 15 se escribe uno de los números 1, 2, 3, … hasta el 15. Las casillas que son simétricas con respecto a una de las diagonales principales contienen números iguales, y no hay línea alguna o columna que tenga dos números iguales. Prueba que no puede haber dos números iguales en la diagonal principal.

§ 3.  Pares e impares

Problema 16. ¿Es posible cambiar un billete de 25 rublos utilizando en total 10 billetes de 1, 3 o 5 rublos?

–Solución. No es posible. Esta conclusión se basa en una observación simple: la suma de una cantidad par de números impares es siempre par. Una generalización de este hecho es la siguiente: si una suma de varios números es par, entonces la cantidad de sumandos impares es par. Si el número de sumandos impares es impar, el resultado será impar, y si el número de sumandos impares es par, el resultado será par.

Problema 17. Pedro compró una libreta que tenía 96 hojas y las numeró del 1 al 192. Víctor, por su parte, arrancó 25 hojas del cuaderno de Pedro y sumó los 50 números de página de dichas hojas. ¿Puede ser el resultado de dicha suma igual a 1990?

Problema 18. El producto de 22 números enteros da uno. Demuestra que su suma no puede dar 0.

Problema 19. ¿Se puede formar un cuadrado mágico usando los 36 primeros números primos? (Un cuadrado mágico es una cuadrícula de 6 × 6 casillas numeradas en la que se cumple que la suma de los números de cualquier fila, columna y diagonal es idéntica).

Problema 20. Escribimos los números del 1 al 10 en una fila. ¿Podemos distribuir los signos + y - entre ellos de manera que el resultado de efectuar las operaciones que aparecen en la expresión final sea igual a...