Freudenthal Algebraical and Topological Foundations of Geometry

Proceedings of a Colloquium Held in Utrecht, August 1959
1. Auflage 2014
ISBN: 978-1-4831-8464-7
Verlag: Elsevier Science & Techn.
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Englisch, 216 Seiten, Web PDF

Algebraical and Topological Foundations of Geometry contains the proceedings of the Colloquium on Algebraic and Topological Foundations of Geometry, held in Utrecht, the Netherlands in August 1959. The papers review the algebraical and topological foundations of geometry and cover topics ranging from the geometric algebra of the Möbius plane to the theory of parallels with applications to closed geodesies. Groups of homeomorphisms and topological descriptive planes are also discussed. Comprised of 26 chapters, this book introduces the reader to the theory of parallels with applications to closed geodesies; groups of homeomorphisms; complemented modular lattices; and topological descriptive planes. Subsequent chapters focus on collineation groups; exceptional algebras and exceptional groups; the connection between algebra and constructions with ruler and compasses; and the use of differential geometry and analytic group theory methods in foundations of geometry. Von Staudt projectivities of Moufang planes are also considered, and an axiomatic treatment of polar geometry is presented. This monograph will be of interest to students of mathematics.

Autoren/Hrsg.

Freudenthal, Hans

Inhaltsverzeichnis

1;Front Cover;1
2;Algebraical and Topological Foundations of Geometry;4
3;Copyright Page;5
4;Table of Contents;7
5;PREFACE;6
6;CHAPTER 1. HJELMSLEVSCHE GEOMETRIE;10
7;CHAPTER 2. ZUR GEOMETRISCHEN ALGEBRADER MÖBIUSEBENEN;14
7.1;LITERATUR;15
8;CHAPTER 3. THE THEORY OF PARALLELS WITH APPLICATIONS TO CLOSED GEODESICS;16
8.1;1. THE AXIOMS;16
8.2;2. EXAMPLES OF NON-SYMMETRIC SPACES;17
8.3;3. PARALLELS;19
8.4;4. THE RELATION TO CLOSED GEODESICS;20
8.5;REFERENCES;22
9;CHAPTER 4. TACTICAL DECOMPOSITIONS OF .-SPACES;24
9.1;1. INTRODUCTION;24
9.2;2. DEFINITIONS AND EXAMPLES;25
9.3;3. BASIC PROPERTIES OF TACTICAL DECOMPOSITIONS OF .-SPACES;26
9.4;4. RESULTS ON PROBLEM (I);28
9.5;5. RESULTS ON PROBLEM (II);29
9.6;6. A RESULT ON PROBLEM (III);30
9.7;BIBLIOGRAPHY;32
10;CHAPTER 5. SCHWACH PROJEKTIVE RÄUME ÜBER DREIFACHEN TERNÄRKÖRPERN;34
10.1;LITERATUR;37
11;CHAPTER 6. SYMPLEKTISCHE UND METASYMPLEKTISCHEGEOMETRIEN;38
12;CHAPTER 7. BERICHT ÜBER DIE THEORIE DER ROSENFELDSCHEN ELLIPTISCHEN EBENEN;44
13;CHAPTER 8. ON GROUPS OF HOMEOMORPHISMS;48
13.1;(1) THE MAIN THEOREM;49
13.2;2. A COUNTER-EXAMPLE;52
13.3;REFERENCES;53
14;CHAPTER 9. TOPOLOGICAL DESCRIPTIVE PLANES;54
15;CHAPTER 10. COMPLEMENTED MODULAR LATTICES;56
15.1;A. COORDINATIZATION THEORY;56
15.2;B. INDEPENDENCE, FINITENESS AND CONTINUITY;60
15.3;REFERENCES;64
16;CHAPTER 11. ÜBER DIE TOPOLOGISCHE UND ALGEBRAISCHE STRUKTUR TOPOLOGISCHER DOPPELLOOPS UND EINIGER TOPOLOGISCHER PROJEKTIVER EBENEN;66
16.1;1. DIE TOPOLOGISCHE STRUKTUR TOPOLOGISCHER DOPPELLOOPS;67
16.2;2. DIE ALGEBRAISCHE STRUKTUR TOPOLOGISCHER DOPPELLOOPS;68
16.3;3. DIE TOPOLOGISOHE STRUKTUR GEWISSER TOPOLOGISCHER PROJEKTIVER EBENEN;73
16.4;LITERATUR;75
17;CHAPTER 12. SOME RESULTS ON COLLINEATION GROUPS;78
17.1;BIBLIOGRAPHY;79
18;CHAPTER 13. ANORDNUNGSFRAGEN IN TERNÄREN RINGEN UND ALLGEMEINEN PROJEKTIVEN UND AFFINEN EBENEN;80
18.1;1. BESCHREIBUNG DER ANORDNUNG DURCH ORDNUNGSFUNKTIONEN;81
18.2;2. ANORDNUNGEN DES TERNÄREN RINGES;84
18.3;3. EIGENSCHAFTEN DER STARKEN HALBORDNUNG;92
18.4;4. SPEZIELLE UND VOLLE ANORDNUNGEN;93
18.5;LITERATUR;95
19;CHAPTER 14. CONSTRUCTION GEOMETRIES AND CONSTRUCTION FIELDS;96
19.1;1. INTRODUCTION;96
19.2;2. CONSTRUCTION OPERATIONS AND CONSTRUCTION FIELDS;98
19.3;3. RATIONAL OPERATIONS;101
19.4;4. QUADRATIC CONSTRUCTIONS;103
19.5;5. THE MOHR-MASCHERONI THEOREM;106
19.6;REFERENCES;106
20;CHAPTER 15. PROJEKTIVE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA ÜBER VERALLGEMEINERTEN BEWERTUNGSRINGEN;108
20.1;1. PROJEKTIVE RÄUME ÜBER LOKALEN RINGEN;108
20.2;2. DIE STRUKTUR DER LINEAREN GRUPPE ÜBER VERALLGEMEINERTEN BEWERTUNGSRINGEN;111
20.3;LITERATUR;115
21;CHAPTER 16. VERALLGEMEINERTE METRISCHE EBENEN UND ORTHOGONALE GRUPPEN;118
21.1;LITERATUR;130
22;CHAPTER 17. ANNEAUX TERNAIRES ET CORPS GÉNÉRALISES LIES AUX GÉOMÉTRIES NON-ARGUÉSIENNESt;132
22.1;I. DEMIGROUPES TERNAIRES (DEMI-AMAS);132
22.2;II. TREILLIS TERNAIRES;136
22.3;III. CORPS TERNAIRES ET «CORPS GÉNÉRALISÉS»;137
22.4;BIBLIOGRAPHIE;138
23;CHAPTER 18. DIFFERENTIAL GEOMETRY AND ANALYTIC GROUP THEORY METHODS IN FOUNDATIONS OF GEOMETRY;140
23.1;1. THE MAIN THEOBEMS;140
23.2;2. PRELIMINARIES;141
23.3;3. AN OUTLINE OF THE PROOF OF THEOREM;142
23.4;4. THE HOMOGENEOUS CASE;143
23.5;BIBLIOGRAPHY;143
24;CHAPTER 19. EINFACHE LIE-GRUPPEN UND NICHTEUKLIDISCHE GEOMETRIEN;144
24.1;1. ALGEBREN;145
24.2;2. PROJEKTIVE RÄUME;146
24.3;3. ELLIPTISCHE RÄUME;148
24.4;4. DIE BEWEGUNGSGRUPPEN DER KOMPAKTEN ELLIPTISCHEN RÄUME;149
24.5;5. DIE BEWEGUNGSGRUPPEN DER NICHTKOMPAKTEN ELLIPTISCHEN UND HYPERBOLISCHEN RÄUME;154
24.6;6. SYMMETRIEGEBILDE;155
24.7;7. PROJEKTIVE ALS ELLIPTISCHE GEOMETRIEN;155
24.8;8. SYMPLEKTISCHE ALS ELLIPTISCHE GEOMETRIE;157
24.9;9. METASYMPLEKTISCHE ALS ELLIPTISCHE GEOMETRIE;158
24.10;10. EINFACHHEITSGEBILDE;159
24.11;11. FRAGEN;163
24.12;LITERATUR;164
25;CHAPTER 20. TOPOLOGISCHE PROJEKTIVE EBENEN;166
25.1;LITERATUR;172
26;CHAPTER 21. VON STAUDT PROJECTIVITIESOF MOUFANG PLANES;174
26.1;REFERENCES;175
27;CHAPTER 22. VERALLGEMEINERTE AFPINE RÄUME UNDIHRE ALGEBRAISCHE DARSTELLUNG;176
28;CHAPTER 23. THE PROJECTIVE OCTAVE PLANE;182
29;CHAPTER 24. GROUPES ALGÉBRIQUES SEMI-SIMPLES ET GEOMETRIES ASSOCIÉES;184
29.1;§ 1. Définitions préliminaires. Géométries §§;184
29.2;§ 2. Géométries et diagrammes de Dynkin † d'un groupe;186
29.3;§ 3. Classification;190
29.4;§ 4. Geometries de type .. Tableau caractéristique;195
29.5;BIBLIOGRAPHIE;200
30;CHAPTER 25. AN AXIOMATIC TREATMENT OF POLARGEOMETRY;202
30.1;REFERENCES;207
31;CHAPTER 26. PERSPECTIVITIES AND THE LITTLEPROJECTIVE GROUP;208
31.1;§ 1. INTRODUCTION;208
31.2;§ 2. DEFINITIONS AND BASIC CONCEPTS;208
31.3;§ 3. COLLINEATIONS OF FlNITE .-SPACES;210
31.4;§ 4. PERSPECTIVITIES OF PROJECTIVE SPACES;211
31.5;§ 5. PERSPECTIVITIES OF FINITE PROJECTIVE SPACES;212
31.6;§ 6. PERSPECTIVITIES OF FINITE PROJECTIVE PLANES;213
31.7;§ 7. COLLINEATION GROUPS OF FINITE PROJECTIVE SPACES;215
31.8;§ 8. COLLINEATION GROUPS OF INFINITE PLANES;215
31.9;REFERENCES;216