E-Book, Deutsch, 461 Seiten
Reihe: Rheinwerk Computing
Grabinger Fit fürs Studium – Statistik
3. Auflage 2024
ISBN: 978-3-367-10366-9
Verlag: Rheinwerk
Format: EPUB
Kopierschutz: 0 - No protection
E-Book, Deutsch, 461 Seiten
Reihe: Rheinwerk Computing
ISBN: 978-3-367-10366-9
Verlag: Rheinwerk
Format: EPUB
Kopierschutz: 0 - No protection
Statistik gehört in vielen Studiengängen zum unverzichtbaren Handwerkszeug. Die Crux dabei: Nur weil Sie sich für Psychologie, Ernährungswissenschaften, VWL oder BWL, Informatik oder Soziales interessieren, haben Sie nicht unbedingt die passende Schulmathematik parat – und fühlen sich vielleicht wie der reinste Dummie. Doch keine Sorge: Dieses Buch knüpft an Ihr intuitives Denken an und führt Sie mit vielen Beispielen durch die Grundbegriffe der Statistik . So wird sich Ihnen schon bald der Sinn von Mittelwerten, Hypothesentests und Co. erschließen.
Schritt für Schritt lernen Sie, wie Sie die Berechnungen durchführen. Darüber hinaus erklärt Ihnen Autor Benno Grabinger, wie Sie mit Datenmaterial eigenständig umgehen, die richtigen Fragen finden und Ergebnisse sinnvoll und anschaulich grafisch darstellen. So sind Sie gut vorbereitet : für Ihre Aufgaben im Studium, die erste Hausarbeit mit echten Daten oder die manchmal gefürchtete Statistik-Vorlesung.
- Grundlagen verstehen und Wissenslücken schließen
- Ideal zum Selbststudium
- Mit vielen realen Beispielen, Aufgaben und ausführlichen Lösungen
Für alle Studiengänge geeignet.
Aus dem Inhalt:
- Grundbegriffe der Statistik
- Häufigkeitsverteilungen
- Lagemaßzahlen
- Streuungsmaßzahlen
- Kovarianz und Korrelation
- Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Bedingte Wahrscheinlichkeiten
- Kombinatorik
- Zufallsgrößen und Erwartungswerte
- Normalverteilung, Binomialverteilung und Co.
- Wie man Hypothesen richtig testet
- Stichproben und ihre Fallstricke
Autoren/Hrsg.
Weitere Infos & Material
Über dieses Buch ... 12
TEIL I Deskriptive Statistik ... 15
1. Grundbegriffe der Statistik ... 16
1.1 ... Die Anfänge ... 17
1.2 ... Wichtige Begriffe ... 21
1.3 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 28
2. Häufigkeitsverteilungen ... 30
2.1 ... Darstellung qualitativer und ordinaler Daten ... 31
2.2 ... Das Summenzeichen ... 36
2.3 ... Darstellung quantitativ-diskreter Daten ... 40
2.4 ... Darstellung quantitativ-stetiger Daten ... 43
2.5 ... Empirische Verteilungsfunktionen ... 48
2.6 ... Überblick zur Verwendung graphischer Darstellungsformen ... 58
2.7 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 59
3. Lügen mit Statistik ... 64
3.1 ... Manipulation graphischer Darstellungen ... 65
3.2 ... Losbuden und Krankenhäuser: Das Simpson-Paradoxon ... 68
3.3 ... Der wohlgewählte Mittelwert ... 75
3.4 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 76
4. Lagemaßzahlen ... 78
4.1 ... Das arithmetische Mittel ... 79
4.2 ... Der Median ... 89
4.3 ... Quantile und Boxplots ... 94
4.4 ... Der Modalwert ... 100
4.5 ... Arithmetisches Mittel, Median und Modalwert im Vergleich ... 102
4.6 ... Das geometrische Mittel ... 104
4.7 ... Das harmonische Mittel ... 106
4.8 ... Überblick zur Verwendung der Lagemaßzahlen ... 110
4.9 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 111
5. Streuungsmaßzahlen ... 114
5.1 ... Spannweite und Quartilsabstand ... 117
5.2 ... Mittelwertabweichung, Medianabweichung, Varianz und Standardabweichung ... 119
5.3 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 130
6. Mehrdimensionale Merkmale ... 132
6.1 ... Transformationen von Daten ... 133
6.2 ... Standardisierung von Daten ... 135
6.3 ... Korrelation ... 141
6.4 ... Lineare Regression ... 157
6.5 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 164
TEIL II Wahrscheinlichkeitsrechnung ... 167
7. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ... 168
7.1 ... Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten ... 169
7.2 ... Das Empirische Gesetz der großen Zahlen ... 181
7.3 ... Die Produktregel ... 185
7.4 ... Geordnete Stichproben ... 187
7.5 ... Ungeordnete Stichproben ... 195
7.6 ... Die Pfadregeln ... 205
7.7 ... Bedingte Wahrscheinlichkeiten ... 211
7.8 ... Zufallsvariablen ... 226
7.9 ... Erwartungswerte ... 257
7.10 ... Die Varianz ... 263
7.11 ... Die Ungleichung von Tschebyschew ... 268
7.12 ... Regeln für Erwartungswerte und Varianzen ... 272
7.13 ... Rückblick ... 282
7.14 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 283
8. Spezielle Verteilungen ... 302
8.1 ... Die Bernoulli-Verteilung ... 303
8.2 ... Die diskrete Gleichverteilung ... 309
8.3 ... Die Binomialverteilung ... 313
8.4 ... Die Poisson-Verteilung ... 324
8.5 ... Die hypergeometrische Verteilung ... 332
8.6 ... Die geometrische Verteilung ... 337
8.7 ... Die stetige Gleichverteilung ... 341
8.8 ... Negativ exponentiell verteilte Zufallsvariablen ... 346
8.9 ... Die Normalverteilung und der zentrale Grenzwertsatz ... 348
8.10 ... Rechnen mit der Normalverteilung ... 361
8.11 ... Quantile und Perzentile ... 370
8.12 ... Die Normalapproximation der Binomialverteilung ... 373
8.13 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 378
TEIL III Beurteilende Statistik ... 387
9. Schätzen ... 388
9.1 ... Schätzfunktionen und Stichprobenverteilungen ... 389
9.2 ... Eine Punktschätzung für den Erwartungswert ... 391
9.3 ... Ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert ... 394
9.4 ... Schätzen des Parameters p einer Binomialverteilung ... 398
9.5 ... Umfang einer Stichprobe zur Schätzung des Erwartungswertes bei bekannter Standardabweichung ... 404
9.6 ... Umfang einer Stichprobe zur Schätzung eines Anteils ... 406
9.7 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 409
10. Testen von Hypothesen ... 412
10.1 ... Grundbegriffe ... 413
10.2 ... Der Binomialtest ... 418
10.3 ... Test für den Erwartungswert einer Grundgesamtheit ... 425
10.4 ... Test bezüglich der unbekannten Differenz zweier Erwartungswerte ... 432
10.5 ... Der Wilcoxon-Zwei-Stichproben-Test ... 436
10.6 ... Nachwort ... 448
10.7 ... Lösungen zu den Aufgaben ... 448
A. Tabelle der Standardnormalverteilung ... 451
B. Literaturverzeichnis und Weblinks ... 453
Index ... 457
1 Grundbegriffe der Statistik
Wir werfen einen Blick auf die Anfänge der Statistik und klären wichtige Begriffe. Erste Beispiele werden diskutiert und erläutert. Außerdem bekommen Sie einen Überblick darüber, wie sich das Gebiet der Statistik heute gliedert und welche Teilgebiete von ihr umfasst sind.
1.1 Die Anfänge
Es begab sich aber zu der Zeit, dass ein Gebot von dem Kaiser Augustus ausging, dass alle Welt geschätzt würde. Und diese Schätzung war die allererste und geschah zu der Zeit, da Cyrenius Landpfleger von Syrien war. Und jedermann ging, dass er sich schätzen ließe, ein jeglicher in seine Stadt.
Da machte sich auch auf Joseph aus Galiläa, aus der Stadt Nazareth, in das jüdische Land zur Stadt Davids, die da heißt Bethlehem, darum dass er von dem Hause und Geschlechte Davids war, auf dass er sich schätzen ließe mit Maria, seinem vertrauten Weibe, die ward schwanger.
Im neuen Testament findet man diesen Text bei Lukas 2, 1–5. Es handelt sich um die Erwähnung einer vom römischen Kaiser Augustus befohlenen Volkszählung. Diese wurde von Publius Sulpicius Quirinius (Cyrenius), dem wichtigsten Statthalter Roms im Osten, angeordnet. Jeder musste sich an seinem Herkunftsort in die Steuerlisten eintragen lassen. Nach dem Bericht von Lukas war es dieser Befehl, der Josef und Maria zur Reise nach Bethlehem führte.
Volkszählungen (census) gab es seit dem 5. Jahrhundert v. Chr. im Römischen Reich regelmäßig. Sie dienten unter anderem zur Vermögensschätzung der Bürger und als Unterlage zur Musterung für das Heer. Der Begriff Zensus für Totalerhebungen wurde in unsere heutige Statistik übernommen. Statistische Erhebungen von Bevölkerungszahlen sind auch aus China ca. 2000 v. Chr. bekannt. In Ägypten wurden ebenfalls schon um 2700 v. Chr. Bevölkerungszahlen für Steuerzwecke erhoben. Davon zeugen Zensus-Papyri aus pharaonischer Zeit. So gibt es einen Papyrus, heute im Besitz des Britischen Museums London, der aus Theben stammt und eine Aufstellung von Häusern und deren Haushaltsvorstehern enthält [KRS].
Von Inschriften ist bekannt, dass die Ägypter ausführliche Statistiken über die Flut des Nils führten. Jedes Jahr im Juli stieg der Nil an. Erreichte er eine bestimmte Höhe, dann wurden die Dämme durchstochen, sodass sich das Wasser mit dem fruchtbaren Schlamm auf den Feldern verteilte. Nach Ablauf des Wassers konnten die Felder neu eingesät werden. Nach diesen jährlichen Überschwemmungen mussten auf Grundlage der alten Besitzverhältnisse eine neue gerechte Vermessung und Verteilung der Felder erfolgen.
Im Mittelalter gab es nur vereinzelte Ansätze zu Volkszählungen. Sie dienten hauptsächlich der Erfassung wehrfähiger Männer. Im Deutschen Kaiserreich wurden dann ab 1871 im Fünfjahreszyklus Volkszählungen durchgeführt.
Abbildung 1.1 Fruchtbares Niltal
Die letzte in Deutschland durchgeführte Volkszählung fand im Jahr 2011 statt. Jährlich wird von den Statistischen Landesämtern der sogenannte Mikrozensus durchgeführt. Für diese statistische Erhebung wird 1% der Privathaushalte in Deutschland ausgewählt. Diese Haushalte werden stellvertretend für die gesamte Bevölkerung befragt. Die Auswahl dieser Haushalte geschieht nicht willkürlich, sondern nach statistischen Regeln, um zu gewährleisten, dass eine sogenannte repräsentative Stichprobe vorliegt. Deshalb kann auch kein Ausgewählter von der Auskunftspflicht befreit werden, auch nicht, wenn alters- oder krankheitsbedingte Umstände vorliegen. Damit ist gewährleistet, dass alle Bevölkerungsgruppen in der Stichprobe gleichmäßig vertreten sind. Die erhobenen Daten bilden die Grundlage für viele Entscheidungen im Bereich des öffentlichen Lebens. Der Bedarf an Kindergartenplätzen, Schulen und Krankenhäusern wird ebenso daraus geschätzt wie die Nachfrage an Wohnraum.
Am Beispiel des Mikrozensus lassen sich die Aufgaben der Statistik erkennen: Es werden Daten aus der Wirklichkeit erfasst und durch geeignete Kennzahlen wie z. B. Mittelwerte verdichtet. Mit Diagrammen werden diese Daten dann übersichtlich dargestellt. Im Groben ist das die Aufgabe der beschreibenden (deskriptiven) Statistik. Was sich aus den Diagrammen augenscheinlich aufdrängt, z. B. Unterschiede zwischen verschiedenen untersuchten Gruppen, führt dann zu Hypothesen, die getestet werden müssen. Dazu sind Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich. Dieses Teilgebiet der Statistik heißt schließende oder induktive Statistik.
Deskriptive und induktive Statistik
Deskriptive Statistik ist die Erhebung und Betrachtung von Daten.
Induktive Statistik bedeutet, dass aus den erhobenen Daten Schlüsse gezogen werden. Zum Beispiel sollen aus den Daten Schätzwerte abgeleitet werden, oder es sollen anhand der Daten Hypothesen getestet werden.
Das folgende Beispiel zeigt eine typische Aufgabenstellung der beschreibenden Statistik.
Aufgabe 1: Drogeriemarkt-Umsätze
Eine Drogeriemarktkette besteht aus 17 Filialen. Die jährlichen Umsätze der einzelnen Filialen in der Einheit 100.000 € sind: 5,25; 6,15; 5,67; 1,365; 4,2; 6,84; 1,095; 4,725; 3,6; 4,8; 2,7; 2,64; 1,02; 1,47; 2,01; 4,425; 3,1.
Zur besseren Übersichtlichkeit sollen verschiedene Parameter gebildet werden.
-
Gesamtumsatz aller Filialen
-
Der mittlere Umsatz (arithmetisches Mittel)
-
Der Umsatz der drei kleinsten und der Umsatz der drei größten Filialen
-
Für die Klasseneinteilung [0; 1), [1; 2), [2; 3), [3; 4), [4; 5), [5; 6), [6; 7), ebenfalls in der Einheit 100.000 €, soll ermittelt werden, wie viele Filialen zu jeder der Klassen gehören. Bei der Schreibweise soll die eckige Klammer andeuten, dass der danebenstehende Wert zur Klasse gehört, die runde Klammer hingegen besagt, dass der danebenstehende Wert nicht zur Klasse gehört.
Gehen Sie diese Fragestellungen nun der Reihe nach an.
Schauen Sie am Ende des Kapitels nach, ob Ihre Lösungen richtig sind.
Sie haben in Teilaufgabe d) die Häufigkeiten der einzelnen Klassen ermittelt. Um diese Häufigkeiten graphisch darzustellen, kann man ein Säulendiagramm zeichnen. Dazu werden auf der x-Achse die Klassen aufgetragen. Über jeder Klasse werden in Form einer Säule die Häufigkeiten aufgetragen. Dabei gibt die Säulenlänge die Häufigkeit der Ausprägung an, d. h. die Anzahl der Elemente, welche in die betreffende Klasse fallen. In Kapitel 2, »Häufigkeitsverteilungen«, erfahren Sie mehr zur Verwendung von Säulendiagrammen.
Abbildung 1.2 Säulendiagramm
Beispiel 1: Frauenanteil an einem Seminar
Zu einem Seminar melden sich 7 Frauen und 3 Männer an. Kann der hohe Frauenanteil durch Zufall erklärt werden, oder gibt es dafür andere Ursachen wie z. B. eine größere Beliebtheit des Seminarthemas bei Frauen?
Diese Fragestellung muss man der induktiven Statistik zurechnen. Gleichwohl kann man das Beispiel auch ohne induktive Statistik angehen. Dazu simuliert man 1.000 Mal je 10 Anmeldungen zu einem Seminar. Jede Anmeldung soll mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein männlicher oder ein weiblicher Teilnehmer sein können. Aus der Simulation kann man den Prozentsatz der Simulationen mit 7 oder mehr weiblichen Anmeldungen bestimmen.
Die folgende Abbildung zeigt eine solche Simulation. Männlich und weiblich ist durch m und w abgekürzt. In jeder Zeile werden 10 Anmeldungen simuliert. Abgebildet sind die ersten 5 der 1.000 Simulationen. In dieser speziellen Simulation ergaben sich 181 Fälle mit 7 oder mehr weiblichen Teilnehmern, das sind 18,1%.
Abbildung 1.3 Simulation
Weitere Simulationen liefern ähnliche Werte. Wenn ein Ereignis in ca. 18,1% aller Fälle eintritt, dann kann man es nicht als ungewöhnlich bezeichnen, denn das Ereignis tritt dann etwa in jeder 5. Simulation auf. Das im letzten Beispiel beobachtete Ergebnis ist daher auch durch Zufallsgeschehen erklärbar. Mit der Datei »1.1 Simulation« können Sie solche Simulationen selbst durchführen.
Übungsdateien zu diesem Buch
Für viele der Beispiele in diesem Buch stehen Excel-Dateien für Sie zur Verfügung, mit denen Sie Simulationen durchführen und mit passendem Datenmaterial praktisch arbeiten können.
Um die Dateien herunterzuladen, scrollen Sie auf der Webseite zum Buch unter https://www.rheinwerk-verlag.de/5963 etwas herunter bis zu den Materialien und verwenden Sie den Link Zu den Materialien.
