Schulze-Pillot-Ziemen Elementare Algebra und Zahlentheorie

1. Auflage 2007
ISBN: 978-3-540-45380-2
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 257 Seiten

Reihe: Springer-Lehrbuch

Das Buch bietet eine neue Stoffzusammenstellung, die elementare Themen aus der Algebra und der Zahlentheorie verknüpft und für die Verwendung in Bachelorstudiengängen und modularisierten Lehramtsstudiengängen konzipiert ist. Es führt die abstrakten Konzepte der Algebra in stetem Kontakt mit konkreten Problemen der elementaren Zahlentheorie und mit Blick auf Anwendungen ein und bietet Ausblicke auf fortgeschrittene Themen. In beiden Gebieten wird ein Stand erreicht, der für Nichtspezialisten das nötige Handwerkszeug für die meisten Anwendungen (etwa in diskreter Mathematik, Kryptographie oder Signalverarbeitung) vermittelt, aber auch zu einer vertieften Beschäftigung mit Algebra und Zahlentheorie anregt und für diese eine gute Ausgangsbasis bildet. Für die zweite Auflage wurden Korrekturen vorgenommen, ferner wurden ein ergänzendes Kapitel über Galoistheorie und ein ergänzender Abschnitt über Anwendungen der Theorie endlicher Körper auf zyklische fehlerkorrigierende Codes neu aufgenommen.

Autoren/Hrsg.

Schulze-Pillot-Ziemen, Rainer

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort;5
2;Inhaltsverzeichnis;8
3;0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen;11
3.1;0.1 Äquivalenzklassen, Gruppen, Ringe;11
3.2;0.2 Polynomring;15
3.3;0.3 Ergänzung: Formale Potenzreihen;23
3.4;Übungen;24
4;1 Natürliche und ganze Zahlen;25
4.1;1.1 Axiomatik bzw. Konstruktion;25
4.2;1.2 Zahldarstellungen;29
4.3;Übungen;32
5;2 Teilbarkeit und Primzahlen;33
5.1;2.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen;33
5.2;2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik;39
5.3;2.3 Unendlichkeit der Primzahlmenge;42
5.4;2.4 Ergänzung: Primzahlsatz und Riemannsche Zetafunktion;43
5.5;2.5 Sieb des Eratosthenes;44
5.6;Übungen;46
6;3 Hauptidealringe, euklidischer Algorithmus und diophantische Gleichungen;48
6.1;3.1 Größter gemeinsamer Teiler;48
6.2;3.2 Eindeutige Primfaktorzerlegung;52
6.3;3.3 Euklidischer Algorithmus und euklidische Ringe;54
6.4;3.4 Lineare diophantische Gleichungen;58
6.5;3.5 Ergänzung: Multiplikative Funktionen;60
6.6;Übungen;62
7;4 Kongruenzen und Ideale;64
7.1;4.1 Kongruenzen;64
7.2;4.2 Restklassenring und Homomorphiesatz;70
7.3;4.3 Simultane Kongruenzen und chinesischer Restsatz;75
7.4;4.4 Lineare Kongruenzen und prime Restklassengruppe;81
7.5;4.5 Ergänzung: Polynomiale Kongruenzen;86
7.6;4.6 Ergänzung: Gauß’sche Primzahlen;90
7.7;Übungen;93
8;5 Gruppen;95
8.1;5.1 Grundbegriffe;95
8.2;5.2 Nebenklassen, Faktorgruppe und Homomorphiesatz;107
8.3;5.3 Isomorphiesätze und direktes Produkt;116
8.4;5.4 Ergänzung: Semidirektes Produkt;121
8.5;Übungen;122
9;6 Operationen von Gruppen auf Mengen;124
9.1;6.1 Grundbegriffe;124
9.2;6.2 Bahnformel und Klassengleichung;128
9.3;6.3 Ergänzung: Sätze von Sylow;131
9.4;Übungen;134
10;7 Abelsche Gruppen und Charaktere;136
10.1;7.1 Abelsche Gruppen und der Hauptsatz;136
10.2;7.2 Charaktergruppe;143
10.3;7.3 Diskrete Fouriertransformation;147
10.4;7.4 Ergänzung: Moduln über Hauptidealringen;153
10.5;Übungen;162
11;8 Prime Restklassengruppe und quadratische Reste;164
11.1;8.1 Struktur der primen Restklassengruppe;164
11.2;8.2 Primitivwurzeln und Potenzreste;171
11.3;8.3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz;177
11.4;8.4 Ergänzung: Primzahltests;189
11.5;Übungen;195
12;9 Körper und Körpererweiterungen;198
12.1;9.1 Konstruktion von Körpern;198
12.2;9.2 Körpererweiterungen;203
12.3;9.3 Nullstellen von Polynomen in Erweiterungskörpern;209
12.4;9.4 Zerf ällungskörper und algebraischer Abschluss;214
12.5;9.5 Ergänzung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal;221
12.6;Übungen;224
13;10 Endliche Körper;226
13.1;10.1 Konstruktion und Klassifikation;226
13.2;10.2 Erweiterungen endlicher Körper und Automorphismen;232
13.3;10.3 Endliche K örper und quadratisches Reziprozitätsgesetz;234
13.4;Übungen;237
14;11 Endliche Körper und Faktorisierung von Polynomen;239
14.1;11.1 Gauß’sches Lemma und Irreduzibilitätskriterien;239
14.2;11.2 Ergänzung: Algorithmische Faktorzerlegung über endlichen Körpern;243
14.3;Übungen;251
15;Sachverzeichnis;252