Westermann / Buhmann / Diemer Mathematische Begriffe visualisiert mit Maple V

für Lehrer und Dozenten
2000
ISBN: 978-3-642-98073-2
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 88 Seiten, eBook

Im Buch und auf der CD-ROM werden 39 Unterrichts-/ Vorlesungsthemen dargestellt. Die elektronischen Arbeitsblätter auf der CD-ROM liefern für Lehrer und Dozenten an Schulen und Hochschulen ein Medium mit dessen Hilfe grundlegende mathematische Begriffe veranschaulicht werden. Dies erfolgt sowohl in Schaubildern, dreidimensionalen Darstellungen als auch in Animationen, die in Form von kleinen Filmen abstrakte mathematische Begriffe greifbarer und damit begreifbarer machen. Durch den Einsatz des Computeralgebrasystems Maple sind die elektronischen Arbeitsblätter so flexibel gehalten, daß sie in der Vorlesung/im Unterricht ohne große Vorkenntnisse interaktiv mit eigenen Beispielen ausgeführt werden können. Alle Materialien sind auch als HTML-Dokumente vorhanden, so daß Lehrer/Dozenten, die keine Maple zur Verfügung haben, die graphischen Darstellungen sowie die Animationen auf der CD-ROM dennoch nutzen können.

Zielgruppe

Lower undergraduate

Autoren/Hrsg.

Westermann, T.

Buhmann, W.

Diemer, L.

Endres, E.

Laule, M.

Wilke, G.

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung.- 1.1 Systemvoraussetzungen.- 1.2 Installationshinweise.- 1.3 Allgemeine Hinweise zu den Worksheets.- 1.4 Hinweise zu den Html-Dateien.- 2. Elementare Funktionen/Funktionenklassen.- 2.1 Schaubilder von Funktionen.- Schaubild einer ganz-rationalen Funktion1.- Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion.- Schaubild einer trigonometrischen Funktion.- Schaubild einer Exponentialfunktion.- 2.2 Darstellung trigonometrischer Funktionen am Einheitskreis.- Sinusfunktion und Zeigerdiagramm.- Kosinusfunktion und Zeigerdiagramm.- Tangensfunktion und Zeigerdiagramm.- Kotangensfunktion und Zeigerdiagramm.- 2.3 Darstellung von Funktionen mit Parametern.- Die allgemeine Sinusfunktion a sin(bx + c) + d.- Die allgemeine Exponentialfunktion exp(-a (x — x0)2).- 3. Gleichungen.- 3.1 Darstellung von Funktionsgleichungen der Form f(x) = g(x).- Polynomgleichung.- Betragsgleichung.- Exponentialgleichung.- Wurzelgleichung.- Nullstellenprobleme.- 4. Vektoren / Ebenen / Geraden.- 4.1 Graphische Darstellung von Vektoren und der Vektorrechnung.- Die Prozeduren arrow2d und arrow3d.- Darstellung von Vektoren im ?2 und ?3.- Darstellung zweier Vektoren im ?2 und ?3.- Darstellung der Addition von Vektoren.- Darstellung der Subtraktion von Vektoren.- Darstellung der Projektion eines Vektors b in Richtung a..- Darstellung des Vektorproduktes (Kreuzproduktes).- 4.2 Graphische Darstellung von Geraden und Ebenen im Raum.- Die Prozeduren arrow2d und arrow3d.- Geraden im ?2 und ?3.- Ebenen im ?3.- 5. Analytische Geometrie.- 5.1 Punkte, Geraden und Ebenen.- Ortsvektor.- Schwerpunkt eines Dreiecks.- Seitenmittenviereck.- Gegenseitige Lage zweier Geraden.- Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene.- Gegenseitige Lage zweier Ebenen.- 5.2 Kugeln und Ebenen I.- Tangentialebene in einem gegebenen Kugelpunkt.- Schnitt zweier Kugeln.- 5.3 Kugeln und Ebenen II.- Tangentialebene parallel zu einer gegebenen Ebene.- Tangentialebene durch eine gegebene Gerade.- 5.4 Kugeln und Geraden.- Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel.- Berührkreis und Tangentialkegel.- 5.5 Kegelschnitte.- Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts.- Brennpunkteigenschaft einer Parabel / Ellipse.- Visualisierung der Brennpunktseigenschaft.- Visualisierung der Gärtnerkonstruktion.- Visualisierung der Leitgeraden bei der Parabel.- Visualisierung der Tangenteneigenschaft bei der Ellipse.- 5.6 Mehrstufige Prozesse.- Iterierung eines Markovprozesses.- Stabiler Zustand des Systems.- Graphische Darstellung des Markovprozesses.- 6. Lineare Algebra.- 6.1 Darstellung linearer Abbildungen im ?2.- Demonstration mit vorgegebener Matrix.- Parallelstreckung.- Zentrische Streckung.- Euler-Affinität.- Scherung.- Scherstreckung.- Abbildung ohne Eigenwerte.- 7. Komplexe Zahlen.- 7.1 Graphische Darstellung komplexer Zahlen.- Darstellung einer Zahl in der komplexen Zahlenebene.- Darstellung der komplex konjugierten Zahl.- Addition zweier komplexer Zahlen.- Subtraktion zweier komplexer Zahlen.- Multiplikation zweier komplexer Zahlen.- Division zweier komplexer Zahlen.- Die n-te Potenz einer komplexen Zahl.- Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl.- 8. Differential- und Integralrechnung.- 8.1 Folgen.- Schneeflockenkurve.- Folgen in Maple V.- Graphische Darstellungen und Wertetabellen.- Systembefehl rsolve.- Grenzwert einer Folge.- Konvergenz.- Fibonacci-Folge.- 8.2 Graphisches Differenzieren.- Sekanten.- Tangenten.- Graphisches Differenzieren.- 8.3 Graphischer Ansatz zur Bestimmung einer Fläche.- 8.4 Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung einer Fläche.- 8.5 Bestimmung der Fläche des krummlinigen Trapezes.- 8.6 Visualisierung des Grenzübergangs durch eine Animation.- 8.7 Kurvendiskussion.- Muster-Kurvendiskussion.- Definitionslücken.- Ableitungen.- Nullstellen, Horizontalstellen, Extremstellen.- Wendepunkte.- Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt.- Wertetabelle.- Näherungslösung einer Gleichung (Newton).- Schaubild.- Polstellen.- Asymptoten.- 8.8 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- Visualisierung des Fundamentalsatzes.- 8.9 Darstellung der Konvergenz der Taylorreihe.- Animation zur Taylorschen Reihe.- 8.10 Rotationskörper.- Graphische Darstellung eines Drehkörpers um die x-Achse.- Graphische Darstellung eines Drehkörpers um die y-Achse.- 9. Iterationsverfahren.- 9.1 Einschließungsverfahren.- Graphische Darstellung des Bisektionsverfahrens.- Graphische Darstellung des Pegasusverfahrens.- 9.2 Iterationsverfahren.- Graphische Darstellung des Newtonverfahrens.- Graphische Darstellung der regula falsi.- 9.3 Iterationsverfahren — Von Newton zu Feigenbaum.- Newtonverfahren.- Graphische Darstellung des Newtonverfahrens.- Allgemeines Iterationsverfahren.- Graphische Darstellung des allgemeinen Verfahrens.- Lang zeitverhalten und Zeitreihe.- Feigenbaumdiagramm.- 10. Funktionen mit mehreren Variablen.- 10.1 Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen.- Graphische Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen.- Partielle Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen.- Graphische Darstellung der Tangentialebene.- Gradient.- 10.2 Darstellung der Konvergenz zweidimensionaler Taylorreihen.- Animation zur Taylorschen Reihe.- 10.3 Ausgleichsrechnung.- Berechnung der Regressionsgeraden.- Bestimmung des Ausgleichspolynoms.- Interpolationspolynom.- 11. Vektoranalysis.- 11.1 Gradient.- Begriffserläuterung und Berechnung des Gradienten.- Darstellung einer Funktion mit zwei Variablen.- Gradient einer Funktion von zwei Variablen.- Gradient einer Funktion von drei Variablen.- Beispiele aus der Physik.- 11.2 Divergenz.- Begriffserläuterung und Berechnung der Divergenz.- Allgemeine Rechenvorschrift für die Divergenz.- Beispiele aus der Physik.- 11.3 Rotation.- Begriffserläuterung und Berechnung der Rotation.- Allgemeine Rechenvorschrift für die Rotation.- Darstellung der Rotation einer Funktion mit zwei Variablen.- Hagen-Poiseuillesches Gesetz.- 12. Wachstums- und Zerfallsprozesse.- 12.1 Simulation dynamischer Systeme.- Lineares Wachstum.- Exponentielles (natürliches) Wachstum.- Exponentiell beschränktes Wachstum.- Logistisches Wachstum.- Bedeutung des Zeitintervalls.- Bedeutung des Wachstumsfaktors.- 13. Differentialgleichungen.- 13.1 Numerische Integrationsverfahren.- Euler-Verfahren.- Modifiziertes Euler- Verfahren.- Verfahren von Heun.- Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung.- Vergleich der vier Verfahren.- Grenzen numerischer Verfahren.- 13.2 Richtungsfeld einer Differentialgleichung.- Lösung bei verschiedenen Anfangsbedingungen.- Richtungsfelder.- Richtungsfeld mit Lösungskurven.- 14. Stochastik.- 14.1 Funktionen zur Stochastik.- Berechnen und Erzeugen von B(n, p).- Summenverteilung.- Histogramme.- Umkehrung der Summenverteilung.- Werte aus einem Intervall.- Testen von Hypothesen.- Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.