Zorich Analysis 1

2006
ISBN: 978-3-540-33278-7
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 598 Seiten, eBook

Reihe: Springer-Lehrbuch

Ausführlicher Einblick in die Anfänge der Analysis: von der Einführung der reellen Zahlen bis hin zu fortgeschrittenen Themen wie Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, asymptotische Betrachtungen, Fourier-, Laplace- und Legendre-Transformationen, elliptische Funktionen und Distributionen. Ausgerichtet auf naturwissenschaftliche Fragestellungen und in detaillierter Herangehensweise an die Integral- und Differentialrechnung. Mit einer Fülle hilfreicher Beispiele, Aufgaben und Anwendungen. In Band 1: vollständige Übersicht zur Integral- und Differentialrechnung einer Variablen, erweitert um die Differentialrechnung mehrerer Variablen.

Zielgruppe

Upper undergraduate

Autoren/Hrsg.

Zorich, V. A.

Weitere Mitwirkende

Schüle, J.

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen . . . . . 1

1.1 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Bindew¨orter und Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Hinweise zu Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Einige besondere Schreibweisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Abschließende Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Mengen und elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Der Begriff einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen . . . . . . . . . . 17

1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen . . . 18

1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion . . 20

1.3.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Erg¨anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1 Die M¨achtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) . . . . . . . . 27

1.4.2 Axiome der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.3 S¨atze in der Sprache der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . 42

2.1.3 Das Vollst¨andigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke 46

2.2 Klassen reeller Zahlen und Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1 Die nat¨urlichen Zahlen. Mathematische Induktion . . . . . 49

XVI Inhaltsverzeichnis

2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.3 Das archimedische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim

Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Wichtige S¨atze zur Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.2 Der Satz zur endlichen ¨Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.3 Der Satz vom H¨aufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4 Abz¨ahlbare und ¨uberabz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.1 Abz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.2 Die M¨achtigkeit des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1 Der Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge . . . . . . . . . . . . 86

3.1.3 Existenz des Grenzwertes einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.1.4 Elementares zu Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.2.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.2.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . 116

3.2.3 Grenzwert auf einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2.4 Existenz des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . . . . . 137

3.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1 Wichtige Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.1 Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.2 Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.2.1 Lokale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.2.2 Globale Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . 167

4.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.1 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.1.1 Problemstellung und einleitende Betrachtungen . . . . . . . 181

5.1.2 In einem Punkt differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . 186

5.1.3 Tangenten und geometrische Interpretation der

Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.1.4 Die Rolle des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Inhaltsverzeichnis XVII

5.1.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.1.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.2 Wichtige Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.2.1 Differentiation und arithmetische Operationen . . . . . . . . 201

5.2.2 Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel) 205

5.2.3 Differentiation einer inversen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.2.4 Ableitungstabelle der Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . 213

5.2.5 Differentiation einer sehr einfachen impliziten Funktion 213

5.2.6 Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

5.2.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.3 Die zentralen S¨atze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 223

5.3.1 Der Satz von Fermat und der Satz von Rolle . . . . . . . . . . 223

5.3.2 Der Mittelwertsatz und der Satz von Cauchy. . . . . . . . . . 225

5.3.3 Die Taylorschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.4 Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen . . . . . . . 246

5.4.1 Bedingungen f¨ur die Monotonie einer Funktion . . . . . . . . 246

5.4.2 Bedingungen f¨ur ein inneres Extremum einer Funktion . 247

5.4.3 Bedingungen f¨ur die Konvexit¨at einer Funktion . . . . . . . 253

5.4.4 Die Regel von L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

5.4.5 Das Konstruieren von Graphen von Funktionen . . . . . . . 263

5.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

5.5 Komplexe Zahlen und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

5.5.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

5.5.2 Konvergenz in C und Reihen mit komplexen Gliedern . . 280

5.5.3 Eulersche Formel und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . 285

5.5.4 Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung . . . . . . 288

5.5.5 Algebraische Abgeschlossenheit des K¨orpers C . . . . . . . . 293

5.5.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

5.6 Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften . 301

5.6.1 Bewegung eines K¨orpers mit ver¨anderlicher Masse . . . . . 302

5.6.2 Die barometrische H¨ohenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.6.3 Radioaktiver Zerfall und Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . 306

5.6.4 In der Atmosph¨are fallende K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

5.6.5 Die Zahl e und ein erneuter Blick auf exp x . . . . . . . . . . . 310

5.6.6 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.6.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

5.7 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

5.7.1 Stammfunktionen und das unbestimmte Integral . . . . . . 321

5.7.2 Allgemeine Methoden zur Bestimmung einer

Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

5.7.3 Stammfunktionen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 329

5.7.4 Stammfunktionen der Form R R(cos x, sin x) dx . . . . . . . . 333

5.7.5 Stammfunktionen der Form R R(x, y(x)) dx . . . . . . . . . . . 335

5.7.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

XVIII Inhaltsverzeichnis

6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

6.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

6.1.1 Problemstellung und einf¨uhrende Betrachtungen . . . . . . 345

6.1.2 Definition des Riemannschen Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 347

6.1.3 Die Menge der integrierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . 349

6.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6.2 Linearit¨at, Additivit¨at und Monotonie des Integrals . . . . . . . . . . 365

6.2.1 Das Integral als lineare Funktion auf dem Raum R[a, b] 365

6.2.2 Das Integral als eine additive Intervallfunktion . . . . . . . . 365

6.2.3 Absch¨atzung, Monotonie und Mittelwertsatz . . . . . . . . . . 368

6.2.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

6.3 Das Integral und die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

6.3.1 Das Integral und die Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

6.3.2 Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung 380

6.3.3 Partielle Integration und Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . 381

6.3.4 ¨Anderung der Variablen in einem Integral . . . . . . . . . . . . 383

6.3.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

6.3.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

6.4 Einige Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

6.4.1 Additive Intervallfunktionen und das Integral . . . . . . . . . 393

6.4.2 Bogenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

6.4.3 Die Fl¨ache eines krummlinigen Trapezes . . . . . . . . . . . . . . 402

6.4.4 Volumen eines Drehk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

6.4.5 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

6.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

6.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

6.5.1 Definition, Beispiele und wichtige Eigenschaften . . . . . . . 413

6.5.2 Konvergenz eines uneigentlichen Integrals . . . . . . . . . . . . 418

6.5.3 Uneigentliche Integrale mit mehr als einer Singularit¨at . 425

6.5.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

7 Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

7.1 Der Raum Rm und seine Unterr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

7.1.1 Die Menge Rm und der Abstand in dieser Menge . . . . . . 432

7.1.2 Offene und abgeschlossene Mengen in Rm . . . . . . . . . . . . 433

7.1.3 Kompakte Mengen in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

7.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler . 438

7.2.1 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

7.2.2 Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler . . . . . . . . . . 444

7.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Inhaltsverzeichnis XIX

8 Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variabler . . . 451

8.1 Die lineare Struktur auf Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

8.1.1 Rm als Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

8.1.2 Lineare Transformationen L : Rm ! Rn . . . . . . . . . . . . . . 452

8.1.3 Die Norm in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

8.1.4 Die euklidische Struktur auf Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

8.2 Das Differential einer Funktion mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . 456

8.2.1 Differenzierbarkeit und das Differential in einem Punkt . 456

8.2.2 Partielle Ableitung einer Funktion mit reellen Werten . . 457

8.2.3 Die Jacobimatrix in koordinatenweiser Darstellung . . . . 460

8.2.4 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit in einem

Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

8.3.1 Linearit¨at der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

8.3.2 Ableitung verketteter Abbildungen (Kettenregel) . . . . . . 465

8.3.3 Ableitung einer inversen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

8.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

8.4.1 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

8.4.2 Eine hinreichende Bedingung f¨ur die Differenzierbarkeit 480

8.4.3 Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 481

8.4.4 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

8.4.5 Extrema von Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . 486

8.4.6 Einige geometrische Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

8.4.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

8.5 Der Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

8.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

8.5.2 Ein einfacher Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . 506

8.5.3 ¨Ubergang zur Gleichung F(x1, . . . , xm, y) = 0 . . . . . . . . . 510

8.5.4 Der Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

8.5.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . 522

8.6.1 Der Satz zur inversen Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

8.6.2 Lokale Reduktion in kanonische Form . . . . . . . . . . . . . . . . 527

8.6.3 Funktionale Abh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

8.6.4 Lokale Zerlegung eines Diffeomorphismus . . . . . . . . . . . . . 534

8.6.5 Das Morse-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

8.6.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

8.7 Fl¨achen in Rn und bedingte Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

8.7.1 k-dimensionale Fl¨achen in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

8.7.2 Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

8.7.3 Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

8.7.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

XX Inhaltsverzeichnis

Einige Aufgaben aus den Halbjahrespr¨ufungen . . . . . . . . . . . . . . . . 571

1. Einf¨uhrung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte) . . . . . . 571

2. Differentialrechnung in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

3. Integration und Einf¨uhrung mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . 574

4. Differentialrechnung mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

Pr¨ufungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

1. Erstes Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

1.1. Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen . . . . 579

2. Zweites Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

2.1. Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen . 581

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

1. Klassische Werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

1.1 Orginalquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

1.2 Wichtige umfassende grundlegende Werke . . . . . . . . . . . . . . . 585

1.3 Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten H¨alfte

des 20. Jahrhunderts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

2. Lehrb¨ucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

3. Studienunterlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

4. Weiterf¨uhrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591