Zeidler Springer-Handbuch der Mathematik I

Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler
1. Auflage 2012
ISBN: 978-3-658-00285-5
Verlag: Springer
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 647 Seiten

Als mehrbändiges Nachschlagewerk ist das Springer-Handbuch der Mathematik in erster Linie für wissenschaftliche Bibliotheken, akademische Institutionen und Firmen sowie interessierte Individualkunden in Forschung und Lehre gedacht. Es ergänzt das einbändige themenumfassende Springer-Taschenbuch der Mathematik (ehemaliger Titel Teubner-Taschenbuch der Mathematik), das sich in seiner begrenzten Stoffauswahl  besonders an Studierende richtet. Teil I des Springer-Handbuchs enthält neben dem einführenden Kapitel und dem Kapitel 1 des Springer-Taschenbuchs zusätzliches Material zur höheren komplexen Funktionentheorie und zur allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen.?

Prof. Eberhard Zeidler, MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig

Autoren/Hrsg.

Zeidler, Eberhard

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort;6
2;Inhaltsverzeichnis;10
3;Einleitung;14
4;KAPITEL 0 WICHTIGE FORMELN, GRAPHISCHE DARSTELLUNGEN UND TABELLEN;16
4.1;0.1 Grundformeln der Elementarmathematik;16
4.1.1;0.1.1 Mathematische Konstanten;16
4.1.2;0.1.2 Winkelmessung;18
4.1.3;0.1.3 Flächeninhalt und Umfang ebener Figuren;20
4.1.4;0.1.4 Volumen und Oberflächen von Körpern;24
4.1.5;0.1.5 Volumen und Oberfläche der regulären Polyeder;27
4.1.6;0.1.6 Volumen und Oberfläche der dimensionalen Kugel;28
4.1.7;0.1.7 Grundformeln der analytischen Geometrie in der Ebene;29
4.1.8;0.1.8 Grundformeln der analytischen Geometrie des Raumes;39
4.1.9;0.1.9 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen;40
4.1.10;0.1.10 Elementare algebraische Formeln;43
4.1.11;0.1.11 Wichtige Ungleichungen;51
4.1.12;0.1.12 Anwendung auf die Planetenbewegung – der Triumph der Mathematik im Weltall;56
4.2;0.2 Elementare Funktionen und ihre graphische Darstellung;60
4.2.1;0.2.1 Transformation von Funktionen;62
4.2.2;0.2.2 Die lineare Funktion;64
4.2.3;0.2.3 Die quadratische Funktion;64
4.2.4;0.2.4 Die Potenzfunktion;65
4.2.5;0.2.5 Die Eulersche;66
4.2.6;0.2.6 Die Logarithmusfunktion;68
4.2.7;0.2.7 Die allgemeine Exponentialfunktion;69
4.2.8;0.2.8 Die Sinusund Kosinusfunktion;70
4.2.9;0.2.9 Die Tangensund Kotangensfunktion;76
4.2.10;0.2.10 Die Hyperbelfunktionen sinh x und cosh x;79
4.2.11;0.2.11 Die Hyperbelfunktionen tanh x und coth x;81
4.2.12;0.2.12 Die inversen trigonometrischen Funktionen (zyklometrische Funktionen);83
4.2.13;0.2.13 Die inversen Hyperbelfunktionen;85
4.2.14;0.2.14 Ganze rationale Funktionen;87
4.2.15;0.2.15 Gebrochen rationale Funktionen;88
4.3;0.3 Standardverfahren der mathematischen Statistik für Praktiker;92
4.3.1;0.3.1 Die wichtigsten empirischen Daten für eine Messreihe;92
4.3.2;0.3.2 Die theoretische Verteilungsfunktion;94
4.3.3;0.3.3 Das Testen einer Normalverteilung;96
4.3.4;0.3.4 Die statistische Auswertung einer Messreihe;96
4.3.5;0.3.5 Der statistische Vergleich zweier Messreihen;97
4.3.6;0.3.6 Tabellen der mathematischen Statistik;101
4.4;0.4 Primzahltabelle;115
4.5;0.5 Reihen- und Produktformeln;116
4.5.1;0.5.1 Spezielle Reihen;116
4.5.2;0.5.2 Potenzreihen;119
4.5.3;0.5.3 Asymptotische Reihen;130
4.5.4;0.5.4 Fourierreihen;133
4.5.5;0.5.5 Unendliche Produkte;138
4.6;0.6 Tabellen zur Differentiation von Funktionen;139
4.6.1;0.6.1 Differentiation der elementaren Funktionen;139
4.6.2;0.6.2 Differentiationsregeln für Funktionen einer Variablen;141
4.6.3;0.6.3 Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Variabler;143
4.7;0.7 Tabellen zur Integration von Funktionen;145
4.7.1;0.7.1 Integration der elementaren Funktionen;145
4.7.2;0.7.2 Integrationsregeln;147
4.7.3;0.7.3 Die Integration rationaler Funktionen;150
4.7.4;0.7.4 Wichtige Substitutionen;151
4.7.5;0.7.5 Tabelle unbestimmter Integrale;155
4.7.6;0.7.6 Tabelle bestimmter Integrale;192
4.8;0.8 Tabellen zu den Integraltransformationen;198
4.8.1;0.8.1 Fouriertransformation;198
4.8.2;0.8.2 Laplacetransformation;211
4.8.3;0.8.3 Z-Transformation;222
4.9;Literatur zu Kapitel 0;226
5;KAPITEL 1 ANALYSIS;227
5.1;1.1 Elementare Analysis;228
5.1.1;1.1.1 Reelle Zahlen;228
5.1.2;1.1.2 Komplexe Zahlen;234
5.1.3;1.1.3 Anwendungen auf Schwingungen;240
5.1.4;1.1.4 Das Rechnen mit Gleichungen;241
5.1.5;1.1.5 Das Rechnen mit Ungleichungen;243
5.2;1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen;245
5.2.1;1.2.1 Grundideen;245
5.2.2;1.2.2 Die Hilbertsche Axiomatik der reellen Zahlen;246
5.2.3;1.2.3 Reelle Zahlenfolgen;250
5.2.4;1.2.4 Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen;253
5.3;1.3 Grenzwerte von Funktionen;257
5.3.1;1.3.1 Funktionen einer reellen Variablen;257
5.3.2;1.3.2 Metrische Räume und Punktmengen;262
5.3.3;1.3.3 Funktionen mehrerer reeller Variabler;268
5.4;1.4 Differentiation von Funktionen einer reellen Variablen;271
5.4.1;1.4.1 Die Ableitung;271
5.4.2;1.4.2 Die Kettenregel;274
5.4.3;1.4.3 Monotone Funktionen;275
5.4.4;1.4.4 Inverse Funktionen;276
5.4.5;1.4.5 Der Taylorsche Satz und das lokale Verhalten von Funktionen;278
5.4.6;1.4.6 Komplexwertige Funktionen;289
5.5;1.5 Differentiation von Funktionen mehrerer reeller Variabler;289
5.5.1;1.5.1 Partielle Ableitungen;289
5.5.2;1.5.2 Die Fréchet-Ableitung;291
5.5.3;1.5.3 Die Kettenregel;294
5.5.4;1.5.4 Anwendung auf die Transformation von Differentialoperatoren;297
5.5.5;1.5.5 Anwendung auf die Abhängigkeit von Funktionen;300
5.5.6;1.5.6 Der Satz über implizite Funktionen;300
5.5.7;1.5.7 Inverse Abbildungen;303
5.5.8;1.5.8 Die n-te Variation und der Taylorsche Satz;305
5.5.9;1.5.9 Anwendungen auf die Fehlerrechnung;306
5.5.10;1.5.10 Das Fréchet-Differential;308
5.6;1.6 Integration von Funktionen einer reellen Variablen;320
5.6.1;1.6.1 Grundideen;320
5.6.2;1.6.2 Existenz des Integrals;325
5.6.3;1.6.3 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung;327
5.6.4;1.6.4 Partielle Integration;328
5.6.5;1.6.5 Die Substitutionsregel;329
5.6.6;1.6.6 Integration über unbeschränkte Intervalle;332
5.6.7;1.6.7 Integration unbeschränkter Funktionen;333
5.6.8;1.6.8 Der Cauchysche Hauptwert;334
5.6.9;1.6.9 Anwendung auf die Bogenlänge;334
5.6.10;1.6.10 Eine Standardargumentation in der Physik;335
5.7;1.7 Integration von Funktionen mehrerer reeller Variabler;336
5.7.1;1.7.1 Grundideen;337
5.7.2;1.7.2 Existenz des Integrals;345
5.7.3;1.7.3 Rechenregeln;348
5.7.4;1.7.4 Das Prinzip des Cavalieri (iterierte Integration);350
5.7.5;1.7.5 Die Substitutionsregel;351
5.7.6;1.7.6 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung (Satz von Gauß-Stokes);352
5.7.7;1.7.7 Das Riemannsche Flächenmaß;359
5.7.8;1.7.8 Partielle Integration;361
5.7.9;1.7.9 Krummlinige Koordinaten;362
5.7.10;1.7.10 Anwendungen auf den Schwerpunkt und das Trägheitsmoment;365
5.7.11;1.7.11 Parameterintegrale;367
5.8;1.8 Vektoralgebra;368
5.8.1;1.8.1 Linearkombinationen von Vektoren;369
5.8.2;1.8.2 Koordinatensysteme;370
5.8.3;1.8.3 Multiplikation von Vektoren;373
5.9;1.9 Vektoranalysis und physikalische Felder;376
5.9.1;1.9.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung;376
5.9.2;1.9.2 Gradient, Divergenz und Rotation;379
5.9.3;1.9.3 Anwendungen auf Deformationen;381
5.9.4;1.9.4 Der Nablakalkül;383
5.9.5;1.9.5 Arbeit, Potential und Kurvenintegrale;386
5.9.6;1.9.6 Anwendungen auf die Erhaltungsgesetze der Mechanik;388
5.9.7;1.9.7 Masseströmungen, Erhaltungsgesetze und der Integralsatz von Gauß;390
5.9.8;1.9.8 Zirkulation, geschlossene Feldlinien und der Integralsatz von Stokes;392
5.9.9;1.9.9 Bestimmung eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln (Hauptsatz der Vektoranalysis);394
5.9.10;1.9.10 Anwendungen auf die Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus;395
5.9.11;1.9.11 Der Zusammenhang der klassischen Vektoranalysis mit dem Cartanschen Differentialkalkül;397
5.10;1.10 Unendliche Reihen;398
5.10.1;1.10.1 Konvergenzkriterien;399
5.10.2;1.10.2 Das Rechnen mit unendlichen Reihen;401
5.10.3;1.10.3 Potenzreihen;404
5.10.4;1.10.4 Fourierreihen;407
5.10.5;1.10.5 Summation divergenter Reihen;410
5.10.6;1.10.6 Unendliche Produkte;411
5.11;1.11 Integraltransformationen;413
5.11.1;1.11.1 Die Laplacetransformation;415
5.11.2;1.11.2 Die Fouriertransformation;420
5.11.3;1.11.3 Die z-Transformation;426
5.12;1.12 Gewöhnliche Differentialgleichungen;430
5.12.1;1.12.1 Einführende Beispiele;430
5.12.2;1.12.2 Grundideen;439
5.12.3;1.12.3 Die Klassifikation von Differentialgleichungen;449
5.12.4;1.12.4 Elementare Lösungsmethoden;459
5.12.5;1.12.5 Anwendungen;475
5.12.6;1.12.6 Lineare Differentialgleichungssysteme und der Propagator;480
5.12.7;1.12.7 Stabilität;483
5.12.8;1.12.8 Randwertaufgaben und die Greensche Funktion;486
5.12.9;1.12.9 Allgemeine Theorie;491
5.13;1.13 Partielle Differentialgleichungen;494
5.13.1;1.13.1 Gleichungen erster Ordnung der mathematischen Physik;495
5.13.2;1.13.2 Gleichungen zweiter Ordnung der mathematischen Physik;523
5.13.3;1.13.3 Die Rolle der Charakteristiken;539
5.13.4;1.13.4 Allgemeine Eindeutigkeitsprinzipien;549
5.13.5;1.13.5 Allgemeine Existenzsätze;551
5.14;1.14 Komplexe Funktionentheorie;561
5.14.1;1.14.1 Grundideen;562
5.14.2;1.14.2 Komplexe Zahlenfolgen;563
5.14.3;1.14.3 Differentiation;564
5.14.4;1.14.4 Integration;566
5.14.5;1.14.5 Die Sprache der Differentialformen;570
5.14.6;1.14.6 Darstellung von Funktionen;573
5.14.7;1.14.7 Der Residuenkalkül zur Berechnung von Integralen;579
5.14.8;1.14.8 Der Abbildungsgrad;581
5.14.9;1.14.9 Anwendungen auf den Fundamentalsatz der Algebra;582
5.14.10;1.14.10 Biholomorphe Abbildungen und der Riemannsche Abbildungssatz;584
5.14.11;1.14.11 Beispiele für konforme Abbildungen;585
5.14.12;1.14.12 Anwendungen auf harmonische Funktionen;594
5.14.13;1.14.13 Anwendungen in der Hydrodynamik;597
5.14.14;1.14.14 Anwendungen in der Elektrostatik und Magnetostatik;600
5.14.15;1.14.15 Analytische Fortsetzung und das Permanenzprinzip;600
5.14.16;1.14.16 Anwendungen auf die Eulersche Gammafunktion;604
5.14.17;1.14.17 Elliptische Funktionen und elliptische Integrale;606
5.14.18;1.14.18 Modulformen und das Umkehrproblem für die Funktion;614
5.14.19;1.14.19 Elliptische Integrale;616
5.14.20;1.14.20 Singuläre Differentialgleichungen;625
5.14.21;1.14.21 Anwendungen auf die Gaußsche hypergeometrische Differentialgleichung;626
5.14.22;1.14.22 Anwendungen auf die Besselsche Differentialgleichung;626
5.14.23;1.14.23 Funktionen mehrerer komplexer Variabler;628
5.15;Literatur zu Kapitel 1;630
6;Index;633