Die Arbeit stellt in einem ersten, ``technischen' Teil wichtige Verfahren zur numerischen Simulation hoch korrelierter Elektronensysteme vor, beschreibt eigene Beiträge zur Weiterentwicklung der Verfahren und liefert exemplarische Anwendungen auf moderne Forschungsprobleme. In einem zweiten, ``physikalischen' Teil werden neue nummerische Ergebnisse zur SO(5)-Theorie der Hochtemperatur-Supraleitung dargestellt. Der erste Teil der Arbeit zeigt zunächst, wie für Fermionensysteme effektive Modelle konstruiert werden können, in denen die niederenergetische Physik durch bosonische Quasiteilchen ausgedrückt wird. Insbesondere wird ein Vier-Bosonen-Modell für zweidimensionale Elektronensysteme hergeleitet, die sich auf mikroskopischer Ebene durch das Heisenberg- oder T-J-Modell beschreiben lassen. Das wichtigste reale Anwendungsgebiet dieser Modelle sind die Kuprat-Supraleiter. Anschließend wird die Technik der Exakten Diagonalisierung (ED) vorgestellt, wobei die effiziente Implementierung auf modernen Höchstleistungsrechnern breiten Raum einnimmt. Eine Studie der Metall-Isolator-Übergänge im Hubbard-Modell bei Halbfüllung - einem Modell für die undotierten Ausgangsmaterialien der Kuprat-Supraleiter - enthüllt als eine exemplarische Anwendung der ED ein vielgestaltiges Phasendiagramm mit zwei verschiedenen metallischen und zwei isolierenden Phasen (vom Typ Mott-Heisenberg-Isolator und Mott-Hubbard-Isolator). In einer zweiten Anwendung werden experimentell gemessene Röntgen-Zirkulardichroismus-Spektren des technologisch interessanten magnetischen Halbmetalls CrO_2 im Computerexperiment reproduziert, so dass die elementaren Wechselwirkungsprozesse in dem Material quantitativ bestimmt werden können. Exemplarisch für die Quanten-Monte-Carlo-Simulationstechniken wird die stochastische Reihenentwicklung (SSE) beschrieben, wobei eine neue Methode zur effizienten Messung beliebiger Greenscher Funktionen entwickelt wird. Deren exzellentes Skalierungsverhalten wird in drei Anwendungen belegt, welche die Zerstörung der suprafluiden und langreichweitigen Ordnung in zweidimensionalen Vielteilchensystemen, die Quanten-Phasenübergänge im Hardcore-Bosonenmodell und schließlich die Spin-1/2-Heisenbergleiter - ein Modellsystem für Zinkverunreinigungen in Kuprat-Supraleitern - untersuchen. Der ``technische' Teil endet mit Überlegungen zum Computereinsatz bei mühsamen algebraischen Termumformungen, wie sie bei der analytischen Behandlung von Vielteilchensystemen entstehen. Das entstandene Mathematica-Programm wird für eine Untersuchung des Hubbard-Modells verwendet, welche die sogenannte Hubbard-I-Näherung und deren Versagen bei Halbfüllung und starker Wechselwirkung studiert. Der zweite große Teil der Arbeit ist einer ausführlichen nummerischen Analyse des projizierten SO(5)-symmetrischen Modells der Hochtemperatur-Supraleitung gewidmet. Dieses Modell bildet die niederenergetische Physik der CuO_2-Ebenen in den Kuprat-Supraleitern auf ein System aus vier bosonischen Quasiteilchen-Typen ab: drei Triplett-Anregungen und eine Lochpaar-Anregung. Nummerische Simulationsergebnisse an zwei- und dreidimensionalen Gittergeometrien zeigen, dass das pSO(5)-Modell viele Eigenschaften der Hochtemperatursupraleiter in halbquantitativer oder sogar quantitativer Weise richtig widergibt, insbesondere die Existenz und die Form einer antiferromagnetischen und einer supraleitenden Phase, die Dotierungsabhängigkeit des chemischen Potenzials und den Resonanzpeak in Neutronenstreuexperimenten im unterdotierten Bereich.
