Mathematik für Wirtschaftswissenschaften

Vorwort 11
1 Einordnung und Grundlagen 15
Übersicht 15
1.1 Einordnung 15
1.2 Mengen 18
1.2.1 Operationen mit Mengen 21
1.2.2 Aussagen und Aussageformen 22
1.3 Terme und Gleichungen 26
1.3.1 Terme und Termumformungen 26
1.3.2 Gleichungen und Ungleichungen 27
2 Das Funktionskonzept 33
Übersicht 33
2.1 Funktionen und Abbildungen 34
2.2 Graphische Darstellung, Bild und Urbild 37
2.3 Wachstums- und Krümmungseigenschaften von Funktionen 42
2.3.1 Lage des Funktionsgraphen im Koordinatensystem 42
2.3.2 Monotonieeigenschaften von Funktionen 43
2.3.3 Krümmung von Funktionen 43
2.4 Verkettung und Umkehrung von Funktionen 46
2.5 Exkurs: Relationen 49
Zusammenfassung 50
3 Lineare Funktionen 51
Übersicht 51
3.1 Normalform linearer Funktionen 52
3.1.1 Interpretation des Faktors a der Normalform 52
3.1.2 Interpretation des Summanden b der Normalform 52
3.1.3 Nullstellen linearer Funktionen 52
3.1.4 Bestimmung der Normalform einer linearen Funktion aus zwei Punkten 53
3.2 Punkt-Steigungsform linearer Funktionen 54
3.3 Koordinatenform linearer Funktionen 54
3.4 Umkehrfunktion und Normale einer linearen Funktion 55
3.4.1 Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion 55
3.4.2 Die Normale einer linearen Funktion 56
3.5 Schnittpunkte linearer Funktionen 57
3.6 Ökonomische Anwendungen linearer Funktionen 58
Zusammenfassung 60
4 Quadratische Funktionen 61
Übersicht 61
4.1 Normalform quadratischer Funktionen 61
4.2 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen 63
4.3 Nullstellen und Schnittpunkte quadratischer Funktionen 65
4.4 Linearform quadratischer Funktionen 67
4.5 Umkehrung quadratischer Funktionen 68
4.6 Ökonomische Anwendungen quadratischer Funktionen 69
4.6.1 Quadratische Gewinnfunktionen bei linearer Nachfragefunktion 69
4.6.2 Modellierung von Nachfragesituationen durch quadratische Funktionen 71
4.6.3 Kleinste-Quadrate-Methode 73
Zusammenfassung 74
5 Rationale Funktionen 75
Übersicht 75
5.1 Potenzen und Monome 76
5.2 Polynome und ganz-rationale Funktionen 80
5.3 Teilbarkeit von Polynomen und Polynomdivision 83
5.4 Nullstellen von Polynomen 89
5.5 Interpolation durch Polynome 92
5.6 Gebrochen-rationale Funktionen 95
Zusammenfassung 100
6 Spezielle Funktionen 101
Übersicht 101
6.1 Exponentialfunktionen 101
6.1.1 Die Schreibweise f(x) = ax für die Exponentialfunktion 103
6.1.2 Das Monotonieverhalten der Exponentialfunktion 103
6.1.3 Die Eulersche Exponentialfunktion 104
6.2 Logarithmusfunktionen 105
6.3 Potenzfunktionen 108
6.4 Trigonometrische Funktionen 110
6.4.1 Geometrische Festlegung der trigonometrischen Funktionen 110
6.4.2 Rechenregeln für trigonometrische Funktionen 115
6.4.3 Anwendungen trigonometrischer Funktionen 116
6.5 Stückweise definierte Funktionen 118
6.5.1 Die Betragsfunktion 119
6.5.2 Exkurs: Die Indikatorfunktion 121
Zusammenfassung 122
7 Folgen und Reihen 125
Übersicht 125
7.1 Folgen in der Ökonomie 125
7.2 Explizite und implizite Folgen 127
7.3 Konvergenz von Folgen 132
7.3.1 Grenzwertbestimmung bei expliziten Folgen 134
7.3.2 Grenzwertbestimmung bei impliziten Folgen 139
7.3.3 Nachweismöglichkeiten für Konvergenz 139
7.4 Summenfolgen und unendliche Reihen 143
7.4.1 Summenfolgen 143
7.4.2 Unendliche Reihen 144
7.4.3 Potenzreihen 148
7.4.4 Exkurs: Erzeugende Funktionen 150
7.5 Exkurs: Gleichgewichte bei Marktpreisen 152
7.6 Finanzmathematische Folgen und Reihen 155
7.6.1 Zinseszinsrechnung 155
7.6.2 Rentenrechnung 156
7.6.3 Annuitätenrechnung 157
7.6.4 Barwert und Endwert 158
7.6.5 Kapitalwert 160
Zusammenfassung 161
8 Differentialrechnung in einer Variablen 163
8.1 Funktionsgrenzwerte 163
8.1.1 Von Folgengrenzwerten zu Funktionsgrenzwerten 163
8.1.2 Einseitige Funktionsgrenzwerte 165
8.1.3 Methoden zur Bestimmung von Funktionsgrenzwerten 166
8.1.4 Divergente und uneigentliche Grenzwerte 169
8.1.5 Grenzwertverhalten gebrochen-rationaler Funktionen 170
8.1.6 Asymptoten von Funktionen 171
8.2 Stetige Funktionen 173
8.3 Differenzierbare Funktionen 177
8.3.1 Tangenten an Funktionsgraphen 178
8.3.2 Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen 178
8.3.3 Die Ableitungsfunktion 181
8.3.4 Ableitung und Linearisierung 183
8.3.5 Mittelwertsatz 184
8.3.6 Ableitungen höherer Ordnung 184
8.4 Ableitungsregeln 185
8.4.1 Faktorregel 186
8.4.2 Summenregel 187
8.4.3 Produktregel 187
8.4.4 Quotientenregel 187
8.4.5 Kettenregel 188
8.4.6 Ableitung von Potenzreihen 189
8.5 Ableitung und Funktionseigenschaften 191
8.5.1 Ableitung erster Ordnung und Nullstellen 192
8.5.2 Ableitung erster Ordnung und Monotonieverhalten 193
8.5.3 Ableitung erster Ordnung und Regel von de l’Hospital 195
8.5.4 Ableitungen erster Ordnung und Bedingungen für Extrema 196
8.5.5 Ableitungen erster und zweiter Ordnung und lokale Extrema 198
8.5.6 Ableitung zweiter Ordnung und Krümmungsverhalten 201
8.5.7 Kurvendiskussionen und Funktionssteckbriefe 203
8.6 Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung 208
8.6.1 Optimaler Preis 208
8.6.2 Gewinnmaximierung 210
8.6.3 Elastizitäten 211
8.6.4 Marginalanalyse 214
8.6.5 Kostenminimierung 215
Zusammenfassung 218
9 Integralrechnung 219
9.1 Flächenintegrale und Stammfunktionen 219
9.1.1 Stammfunktion 220
9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 221
9.1.3 Flächenintegrale bei Funktionen mit Vorzeichenwechsel 223
9.2 Numerische Berechnung von Flächenintegralen 225
9.2.1 Numerische Integration mit der Trapezregel 227
9.2.2 Numerische Integration mit der Simpson-Regel 227
9.2.3 Exkurs: Das Lebesgue-Integral 228
9.3 Integrationsregeln 230
9.3.1 Faktorregel und Summenregel 230
9.3.2 Partielle Integration 232
9.3.3 Substitutionsregel 234
9.4 Uneigentliche Integrale 236
9.5 Exkurs: Konsumentenrente und Produzentenrente 240
Zusammenfassung 243
10 Lineare Gleichungssysteme 247
Übersicht 247
10.1 Lineare Eingabe-Ausgabe-Beziehungen 247
10.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren 251
10.2.1 Zeilenumformungen eines LGS 252
10.2.2 Die Staffelform eines LGS 253
10.2.3 Die Zeilenstufenform eines LGS 256
Zusammenfassung 258
11 Lineare Optimierung 259
Übersicht 259
11.1 Probleme der linearen Optimierung 259
11.1.1 Optimaler Verbrauch von Rohstoffen 260
11.1.2 Transportprobleme 260
11.1.3 Zuordnungsprobleme 260
11.2 Standardform eines LOP 261
11.3 Simplex-Algorithmus 263
11.3.1 Beispiel mit einer freien Variable 263
11.3.2 Simplex-Tableau 264
11.3.3 Basiswechsel mit einer freien Variablen 267
11.3.4 Basiswechsel mit mehreren freien Variablen 269
11.3.5 Schematische Darstellung des Simplex-Verfahrens 272
11.3.6 Diskussion des Verfahrens 273
11.4 Zweiphasenmethode 275
Zusammenfassung 279
12 Vektoren 281
Übersicht 281
12.1 Vektoren und Operationen mit Vektoren 281
12.1.1 Elementare Operationen mit Vektoren 283
12.1.2 Vektorräume 285
12.2 Koordinatensysteme und Linearkombinationen 287
12.3 Untervektorraum und Basis 297
12.3.1 Gewinnung einer Basis aus einem Erzeugendensystem 299
12.3.2 Gewinnung einer Basis zur Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems 300
12.4 Vektorgeometrie 303
12.5 Abstandsmessung, Projektionen und KQ-Methode 309
Zusammenfassung 318
13 Matrizen 319
Übersicht 319
13.1 Matrix-Vektor-Verflechtungen 319
13.2 Matrix-Matrix-Verflechtungen 323
13.3 Quadratische Matrizen 328
13.4 Determinanten 333
13.4.1 Berechnung der Determinante mittels Zeilenumformungen 335
13.4.2 Laplace-Entwicklungsformel für Determinanten 337
13.4.3 Strategien zur Berechnung von Determinanten 338
13.4.4 Anwendungen der Determinante 340
13.5 Eigenwerte und Eigenvektoren 341
13.5.1 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren 343
13.5.2 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren 344
13.5.3 Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen 345
13.6 Definitheit von Matrizen 348
13.6.1 Definitheit 349
13.6.2 Definitheit unter Nebenbedingungen 352
13.7 Exkurs: Anwendungen der Matrizenrechnung 354
13.7.1 Input-Output-Analysen und Leontief-Modelle 354
13.7.2 Übergangsmatrizen und Markoff-Ketten 356
Zusammenfassung 360
14 Differentialrechnung in mehreren Variablen 363
Übersicht 363
14.1 Funktionen mehrerer Variablen 364
14.1.1 Definitionsbereiche für Funktionen mehrerer Variablen 364
14.1.2 Lineare und quadratische Funktionen mehrerer Variablen 366
14.1.3 Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variablen 367
14.1.4 Grafische Darstellung 368
14.2 Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie 370
14.2.1 Lineare Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie 370
14.2.2 Nachfragefunktionen in mehreren Variablen 371
14.2.3 Produktionsfunktionen in mehreren Variablen 373
14.2.4 Homogene Funktionen in der Ökonomie 375
14.3 Ableitungskonzepte für Funktionen mehrerer Variablen 377
14.3.1 Die partielle Ableitung 378
14.3.2 Das Differential 383
14.3.3 Ableitungsregeln für Funktionen mehrerer Variablen 387
14.4 Ableitungskonzepte auf Grundlage des Differentials 390
14.4.1 Richtungsableitung 390
14.4.2 Elastizitäten 395
14.4.3 Implizite Ableitungen und ihre Anwendungen 396
14.5 Ableitungen zweiter Ordnung 404
14.5.1 Die Hesse-Matrix 405
14.5.2 Krümmung impliziter Funktionen 407
14.5.3 Konvexe Funktionen 409
14.6 Integrale für Funktionen mehrerer Variablen 412
14.6.1 Volumenintegrale 412
14.6.2 Integrationsregeln 414
Zusammenfassung 418
15 Optimierungsaufgaben 419
Übersicht 419
15.1 Optimierungsaufgaben ohne Nebenbedingungen 419
15.1.1 Bestimmung kritischer Punkte 420
15.1.2 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema 422
15.1.3 Optimierung konvexer Funktionen 425
15.1.4 Numerische Optimierung mit dem Gradientenabstiegsverfahren 428
15.1.5 Numerische Optimierung mit dem Newton-Verfahren 429
15.2 Optimierung unter Nebenbedingungen 431
15.2.1 Optimierung bei einer Nebenbedingung in Gleichungsform 433
15.2.2 Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen 442
15.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema 449
15.3.1 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema unter Nebenbedingungen 450
15.3.2 Nachweis der Optimalität durch Randwertvergleich 454
15.3.3 Optimierung konvexer Funktionen unter Nebenbedingungen 461
15.4 Komparative Statik 465
15.4.1 Ein Verbrauchsproblem 465
15.4.2 Das Envelope-Theorem 467
15.4.3 Ein Kostenproblem 470
15.4.4 Das Theorem impliziter Funktionen 472
Zusammenfassung 474
Übungsklausuren 475
Klausur 1 475
Klausur 2 477
Klausur 3 479
Klausur 4 481
Klausur 5 483
Abbildungen 485
Tabellen 489
Symbole und Abkürzungen 491
Das griechische Alphabet 493
Literatur 495
Index 497