Erickson ¡Ajá! Soluciones

1. Auflage 2015
ISBN: 978-84-675-7723-5
Verlag: Ediciones SM España
Format: Unbekannt
Kopierschutz: Adobe DRM (»Systemvoraussetzungen)

E-Book, Spanisch, Band 3, 277 Seiten

Reihe: Estímulos Matemáticos

A cualquier matemático, tanto principiante como aficionado o profesional, le emociona encontrar soluciones sencillas y elegantes para problemas aparentemente difíciles. Estas soluciones 'felices' son denominadas 'soluciones ¡Ajá!', una expresión popularizada por el matemático y científico Martin Gardner.Este libro consta de 100 problemas con soluciones ¡Ajá! de aritmética, geometría, álgebra, cálculo, probabilidad, teoría de números y combinatoria. Al principio son fáciles y se van volviendo más difíciles, a medida que se avanza.Además cuenta con problemas extras que se resuelven con técnicas similares a las utilizadas en el problema al que acompañan. Y si el lector no recuerda una definición o un concepto matemático, puede consultar la 'Caja de herramientas' que aparece al final.Esta colección de problemas con soluciones ¡Ajá! puede resultar de interés para alumnos, profesores y todo aquel a quien le gusten los retos matemáticos. Las soluciones ¡Ajá! son sorprendentes, impresionantes y brillantes: revelan la belleza de las matemáticas.

Autoren/Hrsg.

Erickson, Martin

Leseproben

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Capítulo 2

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¿Cuándo es v un entero? Si n es impar, entonces v es entero, ya que es igual al tér-mino central de la sucesión. Sin embargo, si n es par, entonces v no es entero porque es igual a la media de los dos términos centrales de la sucesión (y por tanto un semi-entero). De modo que parece que debemos considerar por separado los casos n impar y n par y también parece que el caso n par es un poco intrincado. Lo creamos o no, hay una forma de asegurar que n debe ser impar, y ahí es donde entra en jue-go la inspiración ¡Ajá!

El problema pide sucesiones de números enteros positivos, pero vamos a relajar la condición temporalmente y aceptar cualquier tipo de enteros (sean positivos, negati-vos, o cero). Si tenemos una suma

a + … + b

de enteros positivos consecutivos, entonces

-(a - 1) + … + (a - 1) + a + … + b

es también suma de enteros consecutivos. La nueva suma es igual a la anterior, ya que hemos introducido solo un 0 (si a = 1) o bien un 0 y pares de números que suman 0 (si a > 1). Además, la paridad del número de términos ha cambiado (hemos introducido un número impar de términos nuevos). Por lo tanto, las sucesiones que estamos buscando forman parejas en las cuales una de las sucesiones tiene un número par de términos y la otra tiene un número impar de términos, una contiene solo enteros positivos y la otra contiene algunos enteros no positivos.

Teniendo en cuenta esta discusión acerca de las sucesiones emparejadas, podemos centrarnos en las sucesiones en las que n es impar y entonces v es un entero: es decir, n es un divisor impar de 1000000. Como la factorización de 1000000 es 26· 56, las posibilidades para n son 1, 5, 52, 53, 54, 55 y 56, y cada una de esas siete posibilidades da lugar exactamente a una solución (la sucesión resultante o su pare-ja). Los respectivos valores de v son 1000000, 200000, 40000, 8000, 1600, 320 y 64. Por tanto, las sumas y sus sumas emparejadas correspondientes son

1 000 000

-999 999 + … + 1 000 000

199 998 + … + 200 002

-199 997 + … + 200 002

39 988 + … + 40 012

-39 987 + … + 40 012

7938 + … + 8062

-7937 + … + 8062

1288 + … + 1912

-1287 + … + 1912

-1242 + … + 1882

1243 + … + 1882

-7748 + … + 7876

7749 +...