Kühnel Differentialgeometrie

Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten
Erscheinungsjahr 2013
ISBN: 978-3-322-93981-4
Verlag: Vieweg & Teubner
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 242 Seiten, Web PDF

Reihe: vieweg studium; Aufbaukurs Mathematik

Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie und wendet sich insbesondere an Studenten mittlerer Semester, nach einem abgeschlossenen Vorlesungs-Zyklus in Analysis und Linearer Algebra (etwa im Umfang der Grundkurs-Bände von O. Forster zur Analysis und von G. Fischer zur Linearen Algebra).
Zunächst geht es - das umfaßt etwa die Hälfte des Buches - um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann in der zweiten Hälfte höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden.
Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel 4: "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt.
Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluß bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" sowie in der allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben.
Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was auch durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird.

Zielgruppe

Upper undergraduate

Autoren/Hrsg.

Kühnel, Wolfgang

Inhaltsverzeichnis

1 Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der Analysis.- 2 Kurven im ?n.- 2A Frenet—Kurven im ?n.- 2B Ebene Kurven und Raumkurven.- 2C Bedingungen an Krümmung und Torsion.- 2D Die Frenet-Gleichungen und der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie.- 2E Kurven im Minkowski—Raum ?13.- 2F Globale Kurventheorie.- 3 Lokale Flächentheorie.- 3A Flächenstücke, erste Fundamentalform.- 3B Die Gauß—Abbildung und Krümmungen von Flächen.- 3C Drehflächen und Regelflächen.- 3D Minimalflächen.- 3E Flächen im Minkowski-Raum ?13.- 3F Hyperflächen im ?n+1.- 4 Die innere Geometrie von Flächen.- 4A Die kovariante Ableitung.- 4B Parallelverschiebung und Geodätische.- 4C Die Gauß—Gleichung und das Theorema Egregium.- 4D Der Hauptsatz der lokalen Flächentheorie.- 4E Die Gauß—Krümmung in speziellen Parametern.- 4F Der Satz von Gauß—Bonnet.- 4G Ausgewählte Kapitel der globalen Flächentheorie.- 5 Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- 5A Der Mannigfaltigkeitsbegriff.- 5B Der Tangentialraum.- 5C Riemannsche Metriken.- 5D Der Riemannsche Zusammenhang.- 6 Der Krümmungstensor.- 6A Tensoren.- 6B Die Schnittkrümmung.- 6C Der Ricci—Tensor und der Einstein—Tensor.- 7 Räume konstanter Krümmung.- 7A Der hyperbolische Raum.- 7B Geodätische und Jacobi—Felder.- 7C Das Raumformen—Problem.- 7D 3-dimensionale euklidische und sphärische Raumformen.- 8 Einstein—Räume.- 8A Die Variation des Hilbert—Einstein—Funktionals.- 8B Die Einsteinschen Feldgleichungen.- 8C Homogene Einstein—Räume.- 8D Die Zerlegung des Krümmungstensors.- 8E Die Konformkrümmung.- 8F Dualität für 4-Mannigfaltigkeiten, Petrov—Typen.- Literatur.

Über Autor(innen)

Wolfgang Kühnel ist Professor am Mathematischen Institut B der Universität Stuttgart.