Reinhardt Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen

Anfangs- und Randwertprobleme
2. überarbeitete Auflage 2012
ISBN: 978-3-11-028046-3
Verlag: De Gruyter
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 308 Seiten

Reihe: De Gruyter Studium

Dieses Lehrbuch, jetzt in seiner zweiten überarbeiteten und erweiterten Auflage vorliegend, liefert eine elementare und leicht verständliche Einführung in die grundlegenden numerischen Verfahren zur Lösung von Anfangs- und Randwertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen. Der Text wird durch Modellbeispiele und zahlreiche theoretische und numerische Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen ergänzt. Ein kurzer Abschnitt liefert die notwendigen Grundlagen zur Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Das Lehrbuch ist nicht nur für Studierende der Mathematik, sondern auch für Nebenfachstudierende, Studierende der Natur- und Ingenieurwissenschaften und für Anwender geeignet, die sowohl an der praktischen Umsetzung der Verfahren für die jeweiligen Problemstellungen als auch an den wesentlichen Eigenschaften wie Stabilität, Konsistenz und insbesondere Konvergenz mit zugehörigen Fehlerabschätzungen interessiert sind.

Zielgruppe

Studierende und Lehrende der Mathematik (Haupt- und Nebenfach), Physik, Ingenieurwissenschaften und Informatik; Anwender und Praktiker in der Industrie, Akademische Bibliotheken

Autoren/Hrsg.

Reinhardt, Hans-Jürgen

Fachgebiete

• Mathematik | Informatik Mathematik Numerik und Wissenschaftliches Rechnen Numerische Mathematik
• Mathematik | Informatik Mathematik Mathematische Analysis Differentialrechnungen und -gleichungen

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort zur zweiten Auflage;5
2;Vorwort zur ersten Auflage;6
3;1 Einleitung: Beispiele und Anwendungen;13
3.1;1.1 Anfangswertprobleme;13
3.2;1.2 Randwertprobleme;16
4;I Ein- und Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben;21
4.1;2 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme;24
4.1.1;2.1 Definition des Verfahrens;24
4.1.2;2.2 Konsistenz;29
4.1.2.1;2.2.1 Konsistenzbedingungen;29
4.1.2.2;2.2.2 Konsistenz spezieller Verfahren;31
4.1.3;2.3 Die Methode der Taylor-Entwicklung;36
4.1.4;2.4 Runge-Kutta-Formeln;39
4.1.5;2.5 Implizite Runge-Kutta-Formeln;46
4.1.6;2.6 Konvergenz;53
4.1.7;2.7 Stabilität;57
4.1.8;2.8 Adaptive Schrittweitenkontrolle;60
4.1.9;2.9 Steife Differentialgleichungen;62
4.1.9.1;2.9.1 Stabilität und Steifheit von Differentialgleichungen;63
4.1.9.2;2.9.2 Einseitige Lipschitz-Bedingung und steife Differentialgleichungssysteme;70
4.1.9.3;2.9.3 Stabilitätsbedingungen für Einschrittverfahren;74
4.1.10;2.10 Unstetige Galerkin-Verfahren;82
4.1.10.1;2.10.1 Variationelle Formulierung;83
4.1.10.2;2.10.2 Galerkin-Approximation und Galerkin-Orthogonalität;84
4.1.10.3;2.10.3 Fehlerabschätzungen und Schrittweitenkontrolle;87
4.2;3 Mehrschrittverfahren für Anfangswertaufgaben;91
4.2.1;3.1 Definition des Verfahrens;91
4.2.2;3.2 Konsistenz von Mehrschrittverfahren;103
4.2.3;3.3 Stabilität und Konvergenz;116
4.2.4;3.4 Charakterisierung der Lipschitz-Stabilität. Die Wurzelbedingung;120
5;II Näherungsverfahren für Randwertprobleme;131
5.1;4 Schießverfahren für Randwertprobleme;134
5.1.1;4.1 Das einfache Schießverfahren für lineare Randwertprobleme;134
5.1.2;4.2 Das einfache Schießverfahren für nichtlineare Randwertprobleme;140
5.1.3;4.3 Die Mehrzielmethode;142
5.2;5 Differenzenverfahren für Randwertprobleme;146
5.2.1;5.1 Singulär gestörte (gewöhnliche) Differentialgleichungen;146
5.2.2;5.2 Differenzenapproximationen für lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung;149
5.2.3;5.3 Stabilität und Konvergenz mit Maximumprinzipien;152
5.2.4;5.4 Stabilität und Konvergenz mithilfe von Kompaktheitsmethoden;157
5.2.5;5.5 Differenzenapproximationen für nichtlineare Randwertprobleme;163
5.3;6 Differenzenapproximationen für Randwertprobleme durch Variationsmethoden;171
5.3.1;6.1 Variationelle Formulierung eines eindimensionalen Modellproblems;171
5.3.2;6.2 Die einfachste Finite-Elemente-Methode für das Modellproblem;175
5.3.3;6.3 Erste Fehlerabschätzungen;178
5.3.4;6.4 Galerkin-Verfahren für nichtlineare Probleme;188
5.4;7 Kollokationsverfahren;191
5.4.1;7.1 Lineare Randwertprobleme m-ter Ordnung;191
5.4.2;7.2 Praktische Aspekte des Kollokationsverfahrens;195
5.5;8 Adaptive Gitter für Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen;198
5.5.1;8.1 Differenzenapproximationen auf nichtäquidistanten Gittern;198
5.5.2;8.2 Interpolationsfehlerindikatoren;199
5.5.3;8.3 Residuen-Schätzer;201
5.5.4;8.4 Gitterverteilungsfunktionen;202
6;III Anhang;207
6.1;A Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen;209
6.1.1;A.1 Klassifikation gewöhnlicher Differentialgleichungen;210
6.1.2;A.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Anfangswertproblemen;212
6.1.3;A.3 Lineare Differentialgleichungen;214
6.1.4;A.4 Systeme mit konstanten Koeffizienten;218
6.1.5;A.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung;219
6.1.6;A.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten;223
6.1.7;A.7 Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung;226
6.2;B Theoretische Übungsaufgaben mit Musterlösungen;232
6.3;C Praktische Übungsaufgaben mit Musterlösungen;267
6.3.1;Literaturverzeichnis;295
6.3.2;Abbildungsverzeichnis;299
6.3.3;Tabellenverzeichnis;301
6.3.4;Index;303

Über Autor(innen)

Hans-Jürgen Reinhardt, Universität Siegen.

Hans-Jürgen Reinhardt, University of Siegen, Germany.