Ulm Numerische Lösung gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungen

Finite-Elemente-Methode (FEM) – Finite-Differenzen-Methode (FDM) – Aufgaben mit Lösungen - Studienausgabe
1. Auflage 2017
ISBN: 978-3-8385-5169-2
Verlag: UTB
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 127 Seiten

Das Buch schließt eine Lücke, indem dieses die effiziente numerische Lösung von Differenzialgleichungen von physikalischen Effekten erklärt. Der Leser wird mit den entsprechenden mathematischen Grundlagen auf die numerische Lösung von Differenzialgleichungen vorbereitet. Differenzialgleichungen werden klassifiziert und jeweils Beispiele aus der Naturwissenschaft und Technik benannt und zugeordnet. Nach einer Einführung in die Momentenmethode (MOM) zur Lösung von Differenzialgleichungen wird die klassische Form der Galerkin-Methode als Sonderfall der MOM vorgestellt. Mit ihr erfolgt die Lösung ausgewählter Anwendungsbeispiele. Es schließt sich der Übergang zur 1D-FEM nach Galerkin an. Im Fortgang wird dem Leser die Finite-Differenzen-Methode (FDM) mittels bereits mit Galerkin-Methode gelösten Anwendungsbeispielen vorgestellt. Die Lösungen beider zuletzt genannten Methoden werden gegenübergestellt.

Als Entwicklungsingenieur bei Fa. Robert Bosch GmbH in Stuttgart war der Autor in einer Simulationsgruppe mit Simulationen mechatronischer Systeme beschäftigt. Einem Wechsel in die Forschungsabteilung folgte eine Industriepromotion. 2007 kam die Berufung zum Professor an den Studiengang Elektrotechnik der Reinhold-Würth Hochschule, Campus Künzelsau.

Autoren/Hrsg.

Ulm, Jürgen

Fachgebiete

• Mathematik | Informatik Mathematik Mathematische Analysis Differentialrechnungen und -gleichungen
• Mathematik | Informatik Mathematik Numerik und Wissenschaftliches Rechnen Numerische Mathematik
• Technische Wissenschaften Technik Allgemein Mathematik für Ingenieure

Inhaltsverzeichnis

1 Erforderliche mathematische Grundlagen
1.1 Matrizen
1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen
1.1.2 Determinante
1.1.3 Inverse Matrix
1.2 Di erenzialgleichungen
1.2.1 De nitionen
1.2.2 Partielle Di erenzialgleichungen
1.2.3 Partielle Integration
1.2.4 Klassi kation von Di erenzialgleichungen
1.2.5 Anfangswertaufgabe
1.2.6 Randwertaufgabe
1.2.7 Inneres Produkt
1.2.8 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung
1.2.9 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung
1.3 Vektoroperatoren
1.3.1 Nabla- und Laplaceoperator
1.3.2 Vektoroperator Gradient
1.3.3 Vektoroperator Divergenz
1.3.4 Vektoroperator Rotation
1.3.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren
1.3.6 Nützliche Normen
2 Di erenzialgleichungen und Finite Elemente
2.1 Physik-Beispiele für Di erenzialgleichungen erster Ordnung
2.2 Physik-Beispiele für Di erenzialgleichungen zweiter Ordnung
2.3 Finite Elemente
3 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode
3.1 Grundprinzip der Momentenmethode
3.2 Anmerkungen zur Momentenmethode
3.3 Galerkins Idee
3.4 Traditionelle Galerkin-Methode
3.5 Galerkin-FEM-Methode
3.6 Vorgehen zur Lösung mit der Galerkin-Methode
4 Lösung der Gleichung dy y = 0 mit der Galerkin-Methode
4.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
4.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion
4.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
4.4 Lösung des linearen Gleichungssystems
5 Lösung der Gleichung u(x) = 1 x2 + 1 x mit der Galerkin-Methode
5.1 Lösung mit linearer Basis- und Wichtungsfunktion
5.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung
5.1.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets
5.1.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
5.1.4 Formulierung der schwache Form mit Dreiecksfunktionen (x)
5.1.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
5.1.6 Lösung des linearen Gleichungssystems
5.2 Lösung mit nichtlinearer Basis- und Wichtungsfunktion
5.2.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
5.2.2 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung
5.2.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
5.2.4 Lösung des linearen Gleichungssystems
6 Lösung der Gleichung u(x) = 1 x2 + 2x mit der Galerkin-Methode
6.1 Lösung mit linearer Basis- und Wichtungsfunktion
6.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung
6.1.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets
6.1.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
6.1.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)
6.1.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
6.1.6 Lösung des linearen Gleichungssystems
6.2 Lösung mit nichtlinearer Basis- und Wichtungsfunktion
6.2.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
6.2.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungs- funktion
6.2.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
6.2.4 Lösung des linearen Gleichungssystems
7 Lösung physik. Bsp. DGL 1’ter Ordnung mit Galerkin-Methode
7.1 Durch utungsgesetz gelöst mit nichtlinearer Basis- und Wichtungsfunktion
7.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung
7.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
7.1.3 Lösung des linearen Gleichungssystems
7.2 Gegenüberstellung FEM- mit Galerkin-Ergebnis
8 Lösung physik. Bsp. DGL 2’ter Ordnung mit Galerkin-Methode
8.1 Elektrostatische Feldberechnung
8.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung
8.1.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets
8.1.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
8.1.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)
8.1.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
8.1.6 Lösung des linearen Gleichungssystems
8.2 Ortsabhängige Temperaturberechnung
8.2.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung
8.2.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets
8.2.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
8.2.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)
8.2.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
8.2.6 Lösung des linearen Gleichungssystems
8.2.7 Di usionsvorgang vollendet
8.3 Ortsabhängige Magnetfeldberechnung
8.3.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung
8.3.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets
8.3.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
8.3.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)
8.3.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
8.3.6 Lösung des linearen Gleichungssystems
9 Einführung in die Finite-Di erenzen-Methode
9.1 Numerische Notation der linearen Felddi usionsgleichung
9.2 Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson
9.2.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung
9.2.2 Lösung der Matrizengleichung
9.2.3 Anwendungsbeispiel
9.3 Lösung mit expliziter Methode
9.3.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung
9.3.2 Lösung der Matrizengleichung
9.3.3 Anwendungsbeispiel
10 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung
10.1 Analyse eines Proportionalmagnetaktors
10.1.1 Preprocessing
10.1.2 Processing
10.1.3 Postprocessing
10.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors
10.2.1 Preprocessing
10.2.2 Processing
10.2.3 Postprocessing
10.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors
11 Anwendung der FEM zur Produktoptimierung
A.1 MATLAB-Code – Wärmedi usionsskript
A.2 MATLAB-Code – Magnetfelddi usionsskript

Über Autor(innen)

Ulm, Jürgen
Als Entwicklungsingenieur bei Fa. Robert Bosch GmbH in Stuttgart war der Autor in einer Simulationsgruppe mit Simulationen mechatronischer Systeme beschäftigt. Einem Wechsel in die Forschungsabteilung folgte eine Industriepromotion. 2007 kam die Berufung zum Professor an den Studiengang Elektrotechnik der Reinhold-Würth Hochschule, Campus Künzelsau.