E-Book, Spanisch, Band 4, 167 Seiten
Reihe: Estímulos Matemáticos
García Déniz / Meavilla Seguí / Luengo Tabernero Gardner para principiantes: enigmas y juegos matemáticos
1. Auflage 2015
ISBN: 978-84-675-8911-5
Verlag: Ediciones SM España
Format: EPUB
Kopierschutz: Adobe DRM (»Systemvoraussetzungen)
E-Book, Spanisch, Band 4, 167 Seiten
Reihe: Estímulos Matemáticos
ISBN: 978-84-675-8911-5
Verlag: Ediciones SM España
Format: EPUB
Kopierschutz: Adobe DRM (»Systemvoraussetzungen)
Martin Gardner siempre se definió como un ilusionista 'aficionado', pero fue el creador de muchos efectos que otros magos 'profesionales' recrean. En sus artículos y libros aparecen con frecuencia sugerentes juegos de magia, y el término 'matemagia', que fusiona las matemáticas con la magia, fue inventado por él. A través de ingeniosos trucos, Gardner despertó el interés por las matemáticas en muchos niños que hoy día son aficionados a ellas e incluso las enseñan y estudian, como los autores de este libro.Este conjunto de artículos supone un atractivo material complementario para los docentes de matemáticas de Primaria y Secundaria. Con esta obra, la Real Sociedad de Matemáticas de España quiere contribuir a la celebración del centenario de Martin Gardner, y rendir así un sincero homenaje a este gran matemago.
Autoren/Hrsg.
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Las sin cuenta caras
de un papel
Pedro Alegría
Habría unos 50 magos, aproximadamente, haciendo trucos. Uno de ellos me intrigó especialmente con un hexaflexágono, una tira de papel doblada en forma hexagonal que se da la vuelta al apretar desde dos lados.
Martin Gardner
Lo más común de toda historia es que tenga un principio y un final, pero la que vas a leer a continuación tiene dos principios y ningún final.
Todo comenzó durante el otoño de 1939, cuando el joven matemático inglés Arthur Stone, recién llegado a la Universidad de Princeton como estudiante de doctorado (quizá siguiendo los pasos del gran matemático Paul Erd?os), descubrió que el tamaño de los folios utilizados en Estados Unidos era mayor que el de la carpeta que acababa de traer desde Inglaterra.
Entonces se dedicó a cortar los folios para que cupieran en la carpeta y a juguetear con las tiras de papel sobrantes. Al plegar las tiras de papel en ángulos de 600, se iban formando triángulos equiláteros, los cuales, dispuestos adecuadamente, daban lugar a hexágonos regulares, como muestra la secuencia de imágenes adjunta (más adelante te explicaré con detalle este proceso).
Figura 1.1.a
Figura 1.1.b
De forma casual descubrió una figura que resultó particularmente intrigante: algunos de los hexágonos podían flexionarse ofreciendo a la vista, de forma cíclica y a modo de caleidoscopio, varias combinaciones distintas de anversos y reversos (en lugar de las dos caras que son habituales en una hoja de papel). Inmediatamente se lo comentó a varios compañeros del Departamento de Matemáticas de Princeton, quienes bautizaron estas figuras con el nombre de flexágonos.
De la noche a la mañana, el recién llegado se convirtió en el centro de atención de un pequeño grupo de estudiantes que estaban fascinados por las matemáticas recreativas. Entre ellos se encontraban Richard Feynman, que llegó a ser Premio Nobel de Física en 1965, Bryant Tuckerman, quien desarrolló un método topológico que permitiría descubrir todas las caras de un flexágono, y John Tukey, uno de los grandes talentos de la estadística del siglo xx.
Su interés les llevó a crear una asociación, que llamaron Princeton Flexagon Committee, y a escribir un documento, que nunca fue publicado, con el resultado de sus investigaciones. Ese documento, en caso de haber existido, habría incluido los llamados diagramas de Feynman y los ciclos de Tuckerman, esquemas visuales que permiten saber el orden en que se recorren todas las caras de un flexágono y que más tarde se aplicarían a otros problemas de teoría de grafos.
La historia podría haber terminado entonces porque la Segunda Guerra Mundial hizo que los miembros del grupo tomaran rumbos diferentes. Sin embargo no fue así y en 1947 vuelve a empezar: Martin Gardner se trasladó de Chicago, en cuya universidad se había graduado como filósofo, a Nueva York, tratando de ganarse la vida como escritor.
Como todo buen aficionado a la magia lo primero que hizo fue ponerse en contacto con los magos del lugar y empezó a reunirse con ellos, bien en la mítica tienda de magia de Lou Tannen (la más antigua de Nueva York) o en el apartamento de Bruce Elliott, que en esos momentos era el editor de The Phoenix, una destacada revista de magia en la que Martin Gardner realizaba colaboraciones periódicas. Allí vio por primera vez esas misteriosas figuras con más caras de lo habitual y quedó fascinado por su magia.
El impacto que los flexágonos produjeron en la mente de Martin debió de ser tremendo. De hecho, su afán por saber más de los hexaflexágonos le condujo a Princeton, pues había oído que habían sido inventados por unos estudiantes de matemáticas de dicha universidad.
Con la ilusión de difundir sus pequeñas investigaciones sobre los hexaflexágonos, presentó su artículo divulgativo a la revista Scientific American, publicándose en diciembre de 1956 bajo el escueto título “Flexágonos” (posteriormente aparece en el primer capítulo del libro Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions, editado por Simon & Schuster en 1959). No fue su primera aportación a la revista, pues en 1952 ya les había vendido su primer artículo titulado “Logic Machines” en el que incluía una ingeniosa máquina de papel que se podía recortar y utilizar para resolver silogismos lógicos.
El artículo sobre los hexaflexágonos contenía de forma sucinta los principales descubrimientos del equipo de Princeton, pero por la claridad de su redacción resultaba tremendamente informativo y sugerente. El responsable de la revista, Gerard Piel, y el editor, Dennis Flanagan, después de leerlo y conocer el eco que había tenido dicho artículo entre lectores de ámbitos muy variados, invitaron a Martin a dirigir la sección de juegos matemáticos.
Con este artículo inició una serie de trabajos relacionados con la papiroflexia: en junio de 1957 publicó un artículo sobre las bandas de Möbius y en mayo de 1958 otro sobre los tetraflexágonos. El primer artículo sobre origami no apareció hasta julio de 1959. Curiosamente, Russell Rogers y Leonard D’Andrea habían patentado en 1955 un hexaflexágono (US Patent 2 883 195) bajo el nombre changeable amusement devices and the like.
Ahora ya sabes que un flexágono es un polígono que tiene varias caras (patrones distintos en su anverso y en su reverso). La palabra procede de la contracción entre flex-ible y flex-ágono, aunque en la actualidad se aplica a todo tipo de polígonos. Así, para distinguir un flexágono de otro debemos especificar la forma del polígono y el número de caras que tiene. Esto lo haremos usando dos prefijos: el primero para indicar el número de caras y el segundo para indicar la forma del polígono. ¿Sabes entonces qué es un tritetraflexágono? Cierto, un polígono de cuatro (tetra-) lados que tiene tres (tri-) caras. ¿Y un dodecahexaflexágono? Muy bien, un polígono de seis (hexa-) lados que tiene doce (dodeca-) caras.
¿Quieres aprender a construir flexágonos? Te mostraré un par de ejemplos sencillos y te indicaré lugares web que puedes visitar para encontrar multitud de nuevas figuras. Antes de empezar, te propongo que pienses estas dos cuestiones:
• Cómo tienes que doblar una tira de papel para conseguir una sucesión de triángulos equiláteros.
• Cuántos triángulos equiláteros necesitas para conseguir la forma de un hexágono.
Te daré una pista visual para responder a la primera cuestión: si doblas longitudinalmente la tira de papel marcando ligeramente la línea central, luego doblas la esquina del papel para hacer coincidir el vértice inferior con un punto de esa línea (como se ilustra en la figura 1.2) y recortas ese trozo sobrante de papel, ya tienes el primer lado del primer triángulo equilátero. ¿Sabes por qué?
Figura 1.2
I. Trihexaflexágono: es el más sencillo y el primero que construyó Arthur Stone. A pesar de su simplicidad, presenta algunas características que lo hacen interesante y original.
Antes de construirlo, hagamos algunas operaciones: si va a tener forma hexagonal y se podrán ver tres caras diferentes, harán falta 6 · 3 = 18 triángulos equiláteros.
• Dobla una tira de papel formando diez triángulos equiláteros, que serán 20 si contamos los que hay en la parte posterior del papel, de los cuales utilizaremos dos para pegarlos entre sí. Dobla varias veces por los lados comunes de los triángulos para facilitar el plegado final.
• Para seguir el proceso, observa de nuevo la secuencia de imágenes de la figura 1.1. Los números impresos te permitirán comprobar si tu resultado coincide con las imágenes:
- Dobla la parte derecha sobre la izquierda por la línea indicada en la figura 1.1.a.
- Dobla la parte superior sobre la inferior por la línea indicada en la figura 1.1.b.
- Pasa la pestaña sombreada hacia delante ocultando el número 8 de la figura 1.1.c.
- Pega los dos triángulos sombreados de la figura 1.1.d.
• Has conseguido un hexágono regular, como el de la figura 1.1.e. Para comprobar que tiene tres caras, dibuja todos los triángulos de la cara delantera con un mismo color y los de la cara trasera con otro color.
• Despliega la figura como te explicaré a continuación hasta que encuentres una cara en blanco. Dibuja todos sus triángulos con un tercer color. Sucesivos pliegues irán mostrando las tres caras de forma secuencial.
• Una vez construido, necesitas aprender a realizar las flexiones que permitan dejar a la vista la cara oculta. Para ello debes hacer un doblez tipo monte, como dirían los expertos en origami, entre dos triángulos adyacentes del hexágono y pinzar con dos dedos dicho doblez. Con la otra mano, trata de abrir el hexágono desde su centro hacia la parte opuesta al lado pinzado. Si lo consigues, la figura se abrirá como una flor y se...
