Branger / Schlag Zinsderivate

Modelle und Bewertung
1. Auflage 2006
ISBN: 978-3-540-35036-1
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Format: PDF
Kopierschutz: 1 - PDF Watermark

E-Book, Deutsch, 212 Seiten

Zinsderivate wie Swaps, Caps, Forwards oder Futures ermöglichen auf vielfältige Weise das Management von Zinsrisiken. Die Bewertung dieser Kontrakte erscheint jedoch meist wesentlich schwieriger und anspruchsvoller als die Bewertung von Aktien- oder Währungsderivaten, da Anleihen besondere Charakteristika, wie eine begrenzte Restlaufzeit und einen sicheren Rückzahlungsbetrag am Laufzeitende, aufweisen. Dieses Buch will dem interessierten Leser den Zugang zu den Modellen erleichtern, indem die allgemeine Bewertungstheorie ausgehend von einfachen Grundlagen in diskreten einperiodigen Modellen entwickelt wird. Die Palette der Modelle reicht dabei von diskreten Ansätzen über zeitstetige Short-Rate-Modelle bis hin zu zinsstrukturkonformen Ansätzen und den aktuell diskutierten LIBOR-Market-Modellen. Bei der Darstellung wird stets großer Wert auf die Vermittlung der ökonomischen Intuition gelegt. Das Buch bietet durch zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen eine fundierte Grundlage zum Selbststudium.

Geschrieben für:
Studierende im Fach Finanzen, Praktiker aus der Finanzbranche

Schlagworte:
Arbitragebewertung
Derivatebewertung
Derivative
Finanzinstrumente
Finance
Zinsderivate
Zinsmodelle
Zinsstrukturen

Autoren/Hrsg.

Branger, Nicole

Schlag, Christian

Inhaltsverzeichnis

1;Vorwort;6
2;Inhaltsverzeichnis;8
3;1 Ein Überblick über zinssensitive Finanztitel;13
4;2 Zinsstrukturen und Zinsderivate;19
4.1;2.1 Zinsstrukturen;20
4.1.1;2.1.1 Diskontierungsfunktion;20
4.1.2;2.1.2 Kassazins;20
4.1.3;2.1.3 Terminzins;21
4.1.4;2.1.4 Kurzfristiger Terminzins;23
4.1.5;2.1.5 Zinssicherheit und Zinsunsicherheit;24
4.2;2.2 Anleihen;25
4.2.1;2.2.1 Nullkuponanleihe;25
4.2.2;2.2.2 Kuponanleihe;25
4.2.2.1;2.2.2.1 Festverzinsliche Anleihe;25
4.2.2.2;2.2.2.2 Variabel verzinsliche Anleihe;26
4.3;2.3 Anleiheoptionen;28
4.3.1;2.3.1 Verteilungsfreie Wertuntergrenzen fiir Anleiheoptionen;29
4.3.2;2.3.2 Verteilungsfreie Wertobergrenzen fiir Anleiheoptionen;30
4.3.3;2.3.3 Vorzeitige Ausubung amerikanischer Anleiheoptionen;31
4.3.4;2.3.4 Put-Call-Paritat fur europaische Optionen;31
4.4;2.4 Forwards und Futures auf Anleihen;32
4.4.1;2.4.1 Forwards;32
4.4.2;2.4.2 Futures;33
4.5;2.5 Forwards und Futures auf Zinsen;34
4.6;2.6 Swaps;35
4.6.1;2.6.1 Payer und Receiver Swaps;35
4.6.1.1;2.6.1.1 Payer Swaps;36
4.6.1.2;2.6.1.2 Receiver Swaps;36
4.6.1.3;2.6.1.3 Swap Rate;36
4.6.2;2.6.2 Forward Swaps;37
4.6.3;2.6.3 Swaptions;37
4.7;2.7 Caps, Floors und Collars;38
4.7.1;2.7.1 Caps;38
4.7.2;2.7.2 Floors;40
4.7.3;2.7.3 Cap-Floor-Paritat;41
4.7.4;2.7.4 Collars;42
4.8;2.8 Aufgaben;43
4.9;2.9 Lösungshinweise;45
5;3 Bewertung in diskreter Zeit;47
5.1;3.1 Einperiodiges Modell;48
5.1.1;3.1.1 Modelltikönomie;48
5.1.2;3.1.2 Arbitragemöglichkeiten;49
5.1.3;3.1.3 Duplikation;51
5.1.4;3.1.4 Vollständigkeit;51
5.1.5;3.1.5 Risikoneutrales Martingalmaß (RNM);52
5.2;3.2 Mehrperiodiges Modell;56
5.2.1;3.2.1 Modellökonomie;56
5.2.2;3.2.2 Duplikation und Rückwärtsrechnung im Baum;58
5.2.3;3.2.3 Vollstandigkeit;59
5.2.4;3.2.4 Arbitragefreiheit;59
5.2.5;3.2.5 Risikoneutrale Bewertung;60
5.2.6;3.2.6 Zwischenzeitliche Zahlungen;61
5.2.7;3.2.7 Amerikanische Derivate;61
5.3;3.3 Aufgaben;63
5.4;3.4 Lösungshinweise;66
6;4 Diskrete Zinsmodelle;69
6.1;4.1 Überblick;69
6.2;4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen;70
6.3;4.3 Das Modell von Ho und Lee;71
6.3.1;4.3.1 Beschreibung des Modells;71
6.3.1.1;4.3.1.1 Baum der Diskontierungsfunktion;71
6.3.1.2;4.3.1.2 Beispiel;77
6.3.1.3;4.3.1.3 Volatilitätsparameter;77
6.3.1.4;4.3.1.4 Anleihepreise;78
6.3.2;4.3.2 Zinsstruktur;79
6.3.2.1;4.3.2.1 Short Rate;79
6.3.2.2;4.3.2.2 Fortführung des Beispiels: Baum der Short Rate;81
6.3.2.3;4.3.2.3 Kassazinsen;81
6.3.2.4;4.3.2.4 Terminzinsen;82
6.3.3;4.3.3 Bewertung von Derivaten;82
6.3.3.1;4.3.3.1 Optionen;83
6.3.3.2;4.3.3.2 Futures;85
6.3.3.3;4.3.3.3 Fortfiihrung des Beispiels: Futures- und Forwardpreis;87
6.3.3.4;4.3.3.4 Caps und Floors;87
6.3.3.5;4.3.3.5 Fortfiihrung des Beispiels: Bewertung von Caps und Floors;88
6.4;4.4 Das Modell von Black, Derman und Toy;91
6.4.1;4.4.1 Baum der Short Rate;92
6.4.2;4.4.2 Kalibration des Modells;93
6.4.2.1;4.4.2.1 Gegebene Volatilitsten der Short Rates;93
6.4.2.2;4.4.2.2 Gegebene Volatilitaten der Kassazinsen in t = 1;93
6.4.2.3;4.4.3 Beispiel;96
6.5;4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung;99
6.6;4.6 Aufgaben;107
6.7;4.7 Lösungshinweise;110
7;5 Bewertung in stetiger Zeit;117
7.1;5.1 Modellökonomie;118
7.2;5.2 Grundlagen der stochastischen Analysis;118
7.2.1;5.2.1 Stochastische Prozesse;119
7.2.2;5.2.2 Wiener Prozesse, stochastische Differentialgleichungen und stochastische Integrale;119
7.2.3;5.2.3 Itos Lemma;123
7.3;5.3 Risikoneutrale Bewert ung;125
7.3.1;5.3.1 Bestimmung des risikoneutralen MaBes;126
7.3.2;5.3.2 Bewertung von Derivaten;128
7.4;5.4 Fundament ale part ielle Different ialgleichung;129
7.5;5.5 Aufgaben;132
7.6;5.6 Lösungshinweise;133
8;6 Zeitstetige Zinsmodelle;137
8.1;6.1 Überblick;137
8.2;6.2 Das Modell von Heath, Jarrow und Morton;138
8.2.1;6.2.1 Modellbeschreibung;138
8.2.1.1;6.2.1.1 Stochastik der Forwardzinsen und der Anleihepreise;139
8.2.1.2;6.2.1.2 Arbitragefreiheit und Driftrestriktionen;141
8.2.2;6.2.2 Risikoneutrale Bewertung;142
8.2.2.1;6.2.2.1 Bestimmung des risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes;142
8.2.2.2;6.2.2.2 Stochastik unter dern risikoneutralen Maß;143
8.2.2.3;6.2.2.3 Risikoneutrale Bewertung von Derivaten;144
8.2.3;6.2.3 Terminrisikoangepasste Bewertung;144
8.2.3.1;6.2.3.1 Bestimmung des terminrisikoangepassten Maßes;144
8.2.3.2;6.2.3.2 Prozesse unter dem terminrisikoangepassten Maß;146
8.2.3.3;6.2.3.3 Terminrisikoangepasste Bewertung von Derivaten;146
8.2.3.4;6.2.3.4 Beispiel: Bewertung eines europaischen Calls;146
8.2.3.5;6.2.3.5 Beispiel: Forward- und Futurespreise;147
8.2.4;6.2.4 Verallgemeinerung: d-dimensionaler Wiener Prozess;148
8.2.5;6.2.5 Gauß-Zinsmodelle;149
8.2.5.1;6.2.5.1 Exkurs: Normalverteilung und Lognormalverteilung;150
8.2.5.2;6.2.5.2 Bewertung von Anleihen, Futures und Optionen im GauB-Zinsmodell;151
8.2.5.3;6.2.5.3 Gad-Zinsmodell mit konstanter Volatilität;156
8.2.5.4;6.2.5.4 Gaufi-Zinsmodell mit exponentiell gedampfter Volatilität;159
8.3;6.3 Das LIBOR Market-Modell;161
8.3.1;6.3.1 Definition des LIBOR;161
8.3.2;6.3.2 Modellierung des Forward-LIBOR;162
8.3.3;6.3.3 Terminal Measure;163
8.3.3.1;6.3.3.1 Zusammenhang zwischen den terminrisikonangeparjten Maßen;163
8.3.3.2;6.3.3.2 Forward-LIBOR unter d e m Terminal Measure;164
8.3.4;6.3.4 Bewertung von Derivaten im LIBOR Market-Modell;165
8.3.4.1;6.3.4.1 Bewertung einer variabel verzinslichen Zahlung;165
8.3.4.2;6.3.4.2 Bewertung eines Caps;166
8.4;6.4 Das Swap Market-Modell;167
8.4.1;6.4.1 Definition und Modellierung der Swap Rate;167
8.4.2;6.4.2 Bewertung einer Swaption;167
8.5;6.5 Short Rate-Modelle;169
8.5.1;6.5.1 Grundlagen;169
8.5.1.1;6.5.1.1 Beschreibung der Unsicherheit;169
8.5.1.2;6.5.1.2 Bestimmung des risikoneutralen Maßes;170
8.5.1.3;6.5.1.3 Bewertung von Derivaten in Short Rate-Modellen;171
8.5.1.4;6.5.1.5 Abgrenzung von Short Rate-Modellen gegen das HJM-Modell;172
8.5.2;6.5.2 Die zeitstetige Version des Modells von Ho und Lee;173
8.5.2.1;6.5.2.1 Beschreibung des Modells;174
8.5.2.2;6.5.2.3 Bestimmung der Zinsstruktur;175
8.5.2.3;6.5.2.4 Kalibration des Modells;177
8.5.3;6.5.3 Das Modell von Vasicek;180
8.5.3.1;6.5.3.1 Beschreibung des Modells;180
8.5.3.2;6.5.3.2 Verhalten der Short Rate;181
8.5.3.3;6.5.3.3 Bestimmung der Zinsstruktur;182
8.5.3.4;6.5.3.4 Kalibration des Modells;184
8.5.3.5;6.5.3.5 Verbindung zum Modell von HJM;184
8.5.4;6.5.4 ,,Extended Vasicek";185
8.5.4.1;6.5.4.1 Beschreibung des Modells;185
8.5.4.2;6.5.4.2 Verhalten der Short Rate;185
8.5.4.3;6.5.4.3 Bestimmung der Zinsstruktur;186
8.5.4.4;6.5.4.4 Kalibration des Modells;188
8.5.4.5;6.5.4.5 Verbindung zum Modell von HJM;189
8.5.5;6.5.5 Das Modell von Cox, Ingersoll und Ross;190
8.5.5.1;6.5.5.1 Beschreibung des Modells;190
8.5.5.2;6.5.5.2 Verhalten der Short Rate;190
8.5.5.3;6.5.5.3 Bestimmung der Zinsstruktur;192
8.6;6.6 Aufgaben;194
8.7;6.7 Losungshinweise;199
9;Abbildungsverzeichnis;205
10;Literatur;207
11;Index;209

Leseproben

4 Diskrete Zinsmodelle (S. 57-58)

4.1 Überblick

Die Bewertung von Derivaten basiert auf einem Model fur die zeitliche Entwicklung des Underlyings. So wird z.B. im Rahmen des klassischen Binomi- almodells die zukunftige Entwicklung des Aktienkurses modelliert. Anschließend können im Rahmen des Modells Derivate auf die Aktie bewertet werden. Unser Ziel ist es nun, die zukunftige Entwicklung der Zinsen und Anleiheprei- se in einem Model1 abzubilden, um in diesem Model1 dann Zinsderivate zu bewerten. Zinsmodelle weisen gegenuber den Modellen fur Aktienderivate einige Besonderheiten auf.

In Abschnitt 4.2 werden kurz die Probleme skizziert, die Zinsmodelle und die Bewertung von Zinsderivaten zu einem eigenstandigen und umfa.ngreichen Thema werden liefien. Wir beginnen die Diskussion der zeit- und zustandsdiskreten Ansatze mit dem Model1 von Ho und Lee (1986) in Abschnitt 4.3. Es gilt gemeinhin als das erste zinsstrukturkonforme Modell, in dem die endogen berechneten Preise von NKAs mit den exogen vorgegebenen (Markt-)Preisen ubereinstimmen.

Diese korrekte Bewertung des Underlyings ist unabdingbare Voraussetzung fur eine sinnvolle Bewertung von Zinsderivaten. Ein Nachteil des Modells von Ho und Lee ist jedoch das unterstellte Ver- halten fur den Zins. So konnen unter anderem negative Zinsen auftreten. Die Losung dieses Problems fuhrt auf das in Abschnitt 4.4 dargestellte Model1 von Black, Derman und Toy (1990), in dem durch eine andere Modellierung des Zinses sichergestellt wird, dass die Zinsen immer positiv bleiben.

Der Preis, den man hierfür zu zahlen hat, ist, dass die Kalibration des Modells an eine gegebene Zinsstruktur nur noch numerisch moglich ist. 4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen Zinsen und zinssensitive Finanztitel weisen im Vergleich zu Aktien einige Besonderheiten auf, die bei der Modellierung zu beachten sind und die eine ein- fache ubertragung von Ansatzen fur Aktienderivate wie z.B. des Modells von Cox, Ross und Rubinstein (1979) auf Zinsderivate verhindern.

Diese Besonderheiten sollen nun kurz skizziert werden. In den folgenden Kapiteln werden wir auf sie noch haufiger zuruckkommen, auch im Zusammenhang mit Ansatzen, die genau diese speziellen Probleme losen (sollen). Die erste Frage in einem Zinsmodell ist, welche zugrundeliegende Grofle modelliert werden soll. Wahrend man in einem Model1 fur die Bewertung von Aktienderivaten in der Regel einfach das Verhalten des Aktienkurses beschreibt, gibt es in einem Zinsmodell mehrere Alternativen bei der Wahl des Underlyings. Zum einen kann man die Entwicklung der gesamten Zinsstruktur auf einmal modellieren, wobei die Zinsstruktur durch die Diskontierungsfunk- tion oder durch die Terminzinskurve reprasentiert sein kann.

Zum anderen kann man das Verhalten einiger weniger Zustandsvariablen an den Anfang stellen und die Entwicklung der Zinsstruktur aus diesen Zustandsvariablen ableiten. Bei den Zustandsvariablen kann es sich um Zinsen selbst handeln (beispielsweise die Short Rate oder Kassazinsen fur ausgewahlte Fristigkeiten), um die Volatilitat der Short Rate oder den Mittelwert der Short Rate oder auch um Zustandsvariablen, die keine direkte anschauliche Interpreta- tion haben. Diese beiden grundsatzlichen Arten von Ansatzen werden wir bei der Diskussion der stetigen Zinsmodelle in Kapitel 6 noch gegeneinander abgrenzen.